Тригонометрия Примеры

$h (x) = 0.5 \sin (0.25 x + 0.75 π) - 5$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 0.5$

$b = 0.25$

$c = - 2.35619449$

$d = - 5$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $0.5$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $0.5 \sin (0.25 x + 2.35619449)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $0.25$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 0.25 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0.25$ равно $0.25$ .

$\frac{2 π}{0.25}$

Этап 3.1.4

Заменим $π$ приближением.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{0.25}$

Этап 3.1.5

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{0.25}$

Этап 3.1.6

Разделим $6.2831853$ на $0.25$ .

$25.13274122$

Этап 3.2

Найдем период $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $0.25$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 0.25 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0.25$ равно $0.25$ .

$\frac{2 π}{0.25}$

Этап 3.2.4

Заменим $π$ приближением.

$\frac{2 \cdot 3.14159265}{0.25}$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$\frac{6.2831853}{0.25}$

Этап 3.2.6

Разделим $6.2831853$ на $0.25$ .

$25.13274122$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$25.13274122$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- 2.35619449}{0.25}$

Этап 4.3

Разделим $- 2.35619449$ на $0.25$ .

Сдвиг фазы: $- 9.42477796$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $0.5$

Период: $25.13274122$

Сдвиг фазы: $- 9.42477796$ ( $9.42477796$ влево)

Смещение по вертикали: $- 5$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - 9.42477796$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9.42477796$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (0.25 (- 9.42477796) + 2.35619449) - 5$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Умножим $0.25$ на $- 9.42477796$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (- 2.35619449 + 2.35619449) - 5$

Этап 6.1.2.1.2

Добавим $- 2.35619449$ и $2.35619449$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (0) - 5$

Этап 6.1.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.3.1

Представим $0$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sin (\frac{0}{2}) - 5$

Этап 6.1.2.1.3.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$f (- 9.42477796) = 0.5 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}) - 5$

Этап 6.1.2.1.3.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}} - 5$

Этап 6.1.2.1.3.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.3.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 1}{2}} - 5$

Этап 6.1.2.1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{1 - 1}{2}} - 5$

Этап 6.1.2.1.3.4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{\frac{0}{2}} - 5$

Этап 6.1.2.1.3.4.4

Разделим $0$ на $2$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{0} - 5$

Этап 6.1.2.1.3.4.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (- 9.42477796) = 0.5 \sqrt{0^{2}} - 5$

Этап 6.1.2.1.3.4.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 9.42477796) = 0.5 \cdot 0 - 5$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $0.5$ на $0$ .

$f (- 9.42477796) = 0 - 5$

Этап 6.1.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (- 9.42477796) = - 5$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = - 3.14159265$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.14159265$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 \sin (0.25 (- 3.14159265) + 2.35619449) - 5$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $0.25$ на $- 3.14159265$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 \sin (- 0.78539816 + 2.35619449) - 5$

Этап 6.2.2.1.2

Добавим $- 0.78539816$ и $2.35619449$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 \sin (1.57079632) - 5$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $0.5$ на $\sin (1.57079632)$ .

$f (- 3.14159265) = 0.5 - 5$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $5$ из $0.5$ .

$f (- 3.14159265) = - 4.5$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $- 4.5$ .

$- 4.5$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 3.14159265$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.14159265$ .

$f (3.14159265) = 0.5 \sin (0.25 (3.14159265) + 2.35619449) - 5$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим $0.25$ на $3.14159265$ .

$f (3.14159265) = 0.5 \sin (0.78539816 + 2.35619449) - 5$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $0.78539816$ и $2.35619449$ .

$f (3.14159265) = 0.5 \sin (3.14159265) - 5$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $0.5$ на $\sin (3.14159265)$ .

$f (3.14159265) = 0 - 5$

Этап 6.3.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (3.14159265) = - 5$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = 9.42477796$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9.42477796$ .

$f (9.42477796) = 0.5 \sin (0.25 (9.42477796) + 2.35619449) - 5$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим $0.25$ на $9.42477796$ .

$f (9.42477796) = 0.5 \sin (2.35619449 + 2.35619449) - 5$

Этап 6.4.2.1.2

Добавим $2.35619449$ и $2.35619449$ .

$f (9.42477796) = 0.5 \sin (4.71238898) - 5$

Этап 6.4.2.1.3

Умножим $0.5$ на $\sin (4.71238898)$ .

$f (9.42477796) = - 0.5 - 5$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $5$ из $- 0.5$ .

$f (9.42477796) = - 5.5$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $- 5.5$ .

$- 5.5$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 15.70796326$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $15.70796326$ .

$f (15.70796326) = 0.5 \sin (0.25 (15.70796326) + 2.35619449) - 5$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Умножим $0.25$ на $15.70796326$ .

$f (15.70796326) = 0.5 \sin (3.92699081 + 2.35619449) - 5$

Этап 6.5.2.1.2

Добавим $3.92699081$ и $2.35619449$ .

$f (15.70796326) = 0.5 \sin (6.2831853) - 5$

Этап 6.5.2.1.3

Умножим $0.5$ на $\sin (6.2831853)$ .

$f (15.70796326) = 0 - 5$

Этап 6.5.2.2

Вычтем $5$ из $0$ .

$f (15.70796326) = - 5$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 9.425 & - 5 \\ - 3.142 & - 4.5 \\ 3.142 & - 5 \\ 9.425 & - 5.5 \\ 15.708 & - 5 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $0.5$

Период: $25.13274122$

Сдвиг фазы: $- 9.42477796$ ( $9.42477796$ влево)

Смещение по вертикали: $- 5$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 9.425 & - 5 \\ - 3.142 & - 4.5 \\ 3.142 & - 5 \\ 9.425 & - 5.5 \\ 15.708 & - 5 \end{array}$

Этап 8