Тригонометрия Примеры

$h = 3 + 35 t - 16 t^{2}$

Этап 1

Упростим $3 + 35 x - 16 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем $3$ .

$y = 35 x - 16 x^{2} + 3$

Этап 1.2

Изменим порядок $35 x$ и $- 16 x^{2}$ .

$y = - 16 x^{2} + 35 x + 3$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- 16 x^{2} + 35 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 16$

$b = 35$

$c = 3$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{35}{2 \cdot - 16}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Умножим $2$ на $- 16$ .

$d = \frac{35}{- 32}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{35}{32}$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 3 - \frac{35^{2}}{4 \cdot - 16}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $35$ в степень $2$ .

$e = 3 - \frac{1225}{4 \cdot - 16}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 16$ .

$e = 3 - \frac{1225}{- 64}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 3 - - \frac{1225}{64}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Умножим $- - \frac{1225}{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 3 + 1 (\frac{1225}{64})$

Этап 2.1.1.4.2.1.4.2

Умножим $\frac{1225}{64}$ на $1$ .

$e = 3 + \frac{1225}{64}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{64}{64}$ .

$e = 3 \cdot \frac{64}{64} + \frac{1225}{64}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Объединим $3$ и $\frac{64}{64}$ .

$e = \frac{3 \cdot 64}{64} + \frac{1225}{64}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{3 \cdot 64 + 1225}{64}$

Этап 2.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.5.1

Умножим $3$ на $64$ .

$e = \frac{192 + 1225}{64}$

Этап 2.1.1.4.2.5.2

Добавим $192$ и $1225$ .

$e = \frac{1417}{64}$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 16 {(x - \frac{35}{32})}^{2} + \frac{1417}{64}$ .

$- 16 {(x - \frac{35}{32})}^{2} + \frac{1417}{64}$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 16 {(x - \frac{35}{32})}^{2} + \frac{1417}{64}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 16$

$h = \frac{35}{32}$

$k = \frac{1417}{64}$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $4$ на $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{64}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{35}{32}$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{709}{32}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Фокус: $(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Ось симметрии: $x = \frac{35}{32}$

Директриса: $y = \frac{709}{32}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Фокус: $(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Ось симметрии: $x = \frac{35}{32}$

Директриса: $y = \frac{709}{32}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 16 {(0)}^{2} + 35 (0) + 3$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 16 \cdot 0 + 35 (0) + 3$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 16$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 35 (0) + 3$

Этап 3.2.1.3

Умножим $35$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $3$ .

$f (0) = 3$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.3

Значение $y$ при $x = 0$ равно $3$ .

$y = 3$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - 16 {(2)}^{2} + 35 (2) + 3$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 16 \cdot 4 + 35 (2) + 3$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 16$ на $4$ .

$f (2) = - 64 + 35 (2) + 3$

Этап 3.5.1.3

Умножим $35$ на $2$ .

$f (2) = - 64 + 70 + 3$

Этап 3.5.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $- 64$ и $70$ .

$f (2) = 6 + 3$

Этап 3.5.2.2

Добавим $6$ и $3$ .

$f (2) = 9$

Этап 3.5.3

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

Этап 3.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $9$ .

$y = 9$

Этап 3.7

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ \frac{35}{32} & \frac{1417}{64} \\ 2 & 9 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(\frac{35}{32}, \frac{1417}{64})$

Фокус: $(\frac{35}{32}, \frac{177}{8})$

Ось симметрии: $x = \frac{35}{32}$

Директриса: $y = \frac{709}{32}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 3 \\ \frac{35}{32} & \frac{1417}{64} \\ 2 & 9 \end{array}$

Этап 5