Тригонометрия Примеры

$g (x) = 2 \cos (2 x - π) + 4$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 2$

$b = 2$

$c = π$

$d = 4$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $2 \cos (2 x - π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.1.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.2

Найдем период $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $π$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $4$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) + 4$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) + 4$

Этап 6.1.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π - π) + 4$

Этап 6.1.2.1.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (0) + 4$

Этап 6.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + 4$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 4$

Этап 6.1.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{4}) - π) + 4$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - π) + 4$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - π) + 4$

Этап 6.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π) + 4$

Этап 6.2.2.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

Этап 6.2.2.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot 0 + 4$

Этап 6.2.2.1.7

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0 + 4$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 4$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \cos (2 (π) - π) + 4$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$f (π) = 2 \cos (π) + 4$

Этап 6.3.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + 4$

Этап 6.3.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + 4$

Этап 6.3.2.1.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 4$

Этап 6.3.2.1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 4$

Этап 6.3.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$f (π) = 2$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{4}) - π) + 4$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - π) + 4$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - π) + 4$

Этап 6.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} - π) + 4$

Этап 6.4.2.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{3 π}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

Этап 6.4.2.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot 0 + 4$

Этап 6.4.2.1.8

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0 + 4$

Этап 6.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 4$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$4$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{3 π}{2}) - π) + 4$

Этап 6.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (3 π - π) + 4$

Этап 6.5.2.1.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (2 π) + 4$

Этап 6.5.2.1.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cos (0) + 4$

Этап 6.5.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 1 + 4$

Этап 6.5.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 + 4$

Этап 6.5.2.2

Добавим $2$ и $4$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6$

Этап 6.5.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 6 \\ \frac{3 π}{4} & 4 \\ π & 2 \\ \frac{5 π}{4} & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 6 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $π$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{2} & 6 \\ \frac{3 π}{4} & 4 \\ π & 2 \\ \frac{5 π}{4} & 4 \\ \frac{3 π}{2} & 6 \end{array}$

Этап 8