Тригонометрия Примеры

$\ln (\frac{1}{2 x} + 2)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$\frac{1}{2 x} + 2 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{2 x} = - 2$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x, 1$

Этап 1.2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 x$

Этап 1.2.3

Каждый член в $\frac{1}{2 x} = - 2$ умножим на $2 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 x} = - 2$ на $2 x$ .

$\frac{1}{2 x} (2 x) = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{2 x} x = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{1}{2 (x)} x = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 x} x = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} x = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} x = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = - 2 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$1 = - 4 x$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 x = 1$ .

$- 4 x = 1$

Этап 1.2.4.2

Разделим каждый член $- 4 x = 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{1}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = - \frac{1}{4}$ .

Вертикальная асимптота: $x = - \frac{1}{4}$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{2 (1)} + 2)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (1) = \ln (\frac{1}{2 \cdot 1} + 2)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (1) = \ln (\frac{1}{2} + 2)$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \ln (\frac{1 + 2 \cdot 2}{2})$

Этап 2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (1) = \ln (\frac{1 + 4}{2})$

Этап 2.2.5.2

Добавим $1$ и $4$ .

$f (1) = \ln (\frac{5}{2})$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $\ln (\frac{5}{2})$ .

$\ln (\frac{5}{2})$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (\frac{5}{2})$ в десятичное представление.

$y = 0.91629073$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{2 (2)} + 2)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{4} + 2)$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \ln (\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \ln (\frac{1 + 2 \cdot 4}{4})$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f (2) = \ln (\frac{1 + 8}{4})$

Этап 3.2.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$f (2) = \ln (\frac{9}{4})$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\ln (\frac{9}{4})$ .

$\ln (\frac{9}{4})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (\frac{9}{4})$ в десятичное представление.

$y = 0.81093021$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{2 (3)} + 2)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{6} + 2)$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{6}{6})$

Этап 4.2.3

Объединим $2$ и $\frac{6}{6}$ .

$f (3) = \ln (\frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6})$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \ln (\frac{1 + 2 \cdot 6}{6})$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $2$ на $6$ .

$f (3) = \ln (\frac{1 + 12}{6})$

Этап 4.2.5.2

Добавим $1$ и $12$ .

$f (3) = \ln (\frac{13}{6})$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $\ln (\frac{13}{6})$ .

$\ln (\frac{13}{6})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (\frac{13}{6})$ в десятичное представление.

$y = 0.77318988$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - \frac{1}{4}$ и точек $(1, 0.91629073), (2, 0.81093021), (3, 0.77318988)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.916 \\ 2 & 0.811 \\ 3 & 0.773 \end{array}$

Этап 6