Тригонометрия Примеры

$f (x) = 7 \csc (5 π x - \frac{1}{3} \cdot π)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ .

$5 π x - \frac{π}{3} = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$5 π x = \frac{π}{3}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $5 π x = \frac{π}{3}$ на $5 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $5 π x = \frac{π}{3}$ на $5 π$ .

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Этап 1.2.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Этап 1.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Этап 1.2.2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Этап 1.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Этап 1.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 1.2.2.3.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{1}{3 \cdot 5}$

Этап 1.2.2.3.4

Умножим $3$ на $5$ .

$x = \frac{1}{15}$

Этап 1.3

Выражение внутри косеканса $5 π x - \frac{π}{3}$ приравняем $2 π$ .

$5 π x - \frac{π}{3} = 2 π$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к обеим частям уравнения.

$5 π x = 2 π + \frac{π}{3}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 π x = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 π x = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 π x = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$5 π x = \frac{6 π + π}{3}$

Этап 1.4.1.5.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$5 π x = \frac{7 π}{3}$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $5 π x = \frac{7 π}{3}$ на $5 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $5 π x = \frac{7 π}{3}$ на $5 π$ .

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Этап 1.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Этап 1.4.2.3.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $7 π$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Этап 1.4.2.3.2.2

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Этап 1.4.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Этап 1.4.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 1.4.2.3.3

Умножим $\frac{7}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{7}{3 \cdot 5}$

Этап 1.4.2.3.4

Умножим $3$ на $5$ .

$x = \frac{7}{15}$

Этап 1.5

Основной период $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ находится на промежутке $(\frac{1}{15}, \frac{7}{15})$ , где $\frac{1}{15}$ и $\frac{7}{15}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{1}{15}, \frac{7}{15})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$5 π$ приблизительно равно $15.70796326$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{5 π}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{5 π}$

Этап 1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ находятся в $\frac{1}{15}$ , $\frac{7}{15}$ и в каждой точке $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$

Этап 1.8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \csc (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 7$

$b = 5 π$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $c s c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $5 π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

Этап 4.3

$5 π$ приблизительно равно $15.70796326$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{5 π}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{5 π}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{5}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 5.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{5}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{1}{3 \cdot 5}$

Этап 5.6

Умножим $3$ на $5$ .

Сдвиг фазы: $\frac{1}{15}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{2}{5}$

Сдвиг фазы: $\frac{1}{15}$ ( $\frac{1}{15}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{2}{5}$

Сдвиг фазы: $\frac{1}{15}$ ( $\frac{1}{15}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8