Тригонометрия Примеры

$f (x) = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ .

$x + \frac{π}{2} = 0$

Этап 1.2

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 1.3

Выражение внутри косеканса $x + \frac{π}{2}$ приравняем $2 π$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π$

Этап 1.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.4.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.4.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.5

Основной период $y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ находится на промежутке $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , где $- \frac{π}{2}$ и $\frac{3 π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.6.2

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ находятся в $- \frac{π}{2}$ , $\frac{3 π}{2}$ и в каждой точке $x = - \frac{π}{2} + π n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - \frac{π}{2} + π n$

Этап 1.8

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{2} + π n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{2} + π n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \csc (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 8$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 3$

Этап 3

Поскольку график функции $c s c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $8 \csc (x + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.1.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2

Найдем период $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$2 π$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{2}}{1}$

Этап 5.3

Разделим $- \frac{π}{2}$ на $1$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ влево)

Смещение по вертикали: $3$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{2} + π n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $2 π$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ влево)

Смещение по вертикали: $3$

Этап 8