Тригонометрия Примеры

$f (x) = 5 \tan (3 x - 2) + 1$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ .

$3 x - 2 = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = - \frac{π}{2} + 2$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{2} + 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{2} + 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{2}{3}$

Этап 1.2.2.3.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $3 x - 2$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$3 x - 2 = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = \frac{π}{2} + 2$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2} + 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{2} + 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.4.2.3.1.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3}$

Этап 1.4.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$

Этап 1.5

Основной период $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ находится на промежутке $(- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}, \frac{π}{6} + \frac{2}{3})$ , где $- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ и $\frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}, \frac{π}{6} + \frac{2}{3})$

Этап 1.6

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = 5 \tan (3 x - 2) + 1$ находятся в точках $- \frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ , $\frac{π}{6} + \frac{2}{3}$ и в каждой точке $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ ― целое число.

$x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 5$

$b = 3$

$c = 2$

$d = 1$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $5 \tan (3 x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 4.2

Найдем период $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{π}{3}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{2}{3}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{2}{3}$ ( $\frac{2}{3}$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{6} + \frac{2}{3} + \frac{π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{3}$

Сдвиг фазы: $\frac{2}{3}$ ( $\frac{2}{3}$ вправо)

Смещение по вертикали: $1$

Этап 8