Тригонометрия Примеры

$f (x) = 6 x^{2} - 9 x - 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $6 x^{2} - 9 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 6$

$b = - 9$

$c = - 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 9}{2 \cdot 6}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$d = \frac{3 (- 3)}{2 \cdot 6}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{3 (- 3)}{3 (2 \cdot 2)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 3}{3 (2 \cdot 2)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$d = \frac{- 3}{4}$

Этап 1.1.1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{4}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 9)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$e = - 1 - \frac{81}{4 \cdot 6}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $6$ .

$e = - 1 - \frac{81}{24}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $81$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$e = - 1 - \frac{3 (27)}{24}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$e = - 1 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 8}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 8}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{27}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{8}{8} - \frac{27}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 8}{8} - \frac{27}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 1 \cdot 8 - 27}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$e = \frac{- 8 - 27}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.5.2

Вычтем $27$ из $- 8$ .

$e = \frac{- 35}{8}$

Этап 1.1.1.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = - \frac{35}{8}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{35}{8}$ .

$6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{35}{8}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{35}{8}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 6$

$h = \frac{3}{4}$

$k = - \frac{35}{8}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{3}{4}, - \frac{35}{8})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 6}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{1}{24}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{3}{4}, - \frac{13}{3})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{53}{12}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{4}, - \frac{35}{8})$

Фокус: $(\frac{3}{4}, - \frac{13}{3})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{4}$

Директриса: $y = - \frac{53}{12}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{4}, - \frac{35}{8})$

Фокус: $(\frac{3}{4}, - \frac{13}{3})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{4}$

Директриса: $y = - \frac{53}{12}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 6 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 - 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 - 9 \cdot 0 - 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0 - 1$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 9$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = - 1$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 6 \cdot 1 - 9 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.5.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f (- 1) = 6 - 9 \cdot - 1 - 1$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 6 + 9 - 1$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $6$ и $9$ .

$f (- 1) = 15 - 1$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из $15$ .

$f (- 1) = 14$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $14$ .

$14$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $14$ .

$y = 14$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 6 {(2)}^{2} - 9 \cdot 2 - 1$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 6 \cdot 4 - 9 \cdot 2 - 1$

Этап 2.8.1.2

Умножим $6$ на $4$ .

$f (2) = 24 - 9 \cdot 2 - 1$

Этап 2.8.1.3

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f (2) = 24 - 18 - 1$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $18$ из $24$ .

$f (2) = 6 - 1$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$f (2) = 5$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 2$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.10

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 14 \\ 0 & - 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{35}{8} \\ 2 & 5 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{4}, - \frac{35}{8})$

Фокус: $(\frac{3}{4}, - \frac{13}{3})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{4}$

Директриса: $y = - \frac{53}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 14 \\ 0 & - 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{35}{8} \\ 2 & 5 \end{array}$

Этап 4