Тригонометрия Примеры

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ лежит в точке $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\cot (\frac{π x}{12})$ равным $0$ . В данном случае $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6}{π} π$

Этап 1.2.4.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6}{π} π$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 6$

Этап 1.2.5

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Упростим $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

Этап 1.2.6.2.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

Этап 1.2.6.2.2.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.4.1

Добавим $2 π$ и $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

Этап 1.2.6.2.2.1.4.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Этап 1.2.6.2.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Этап 1.2.6.2.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 6 \cdot 3$

Этап 1.2.6.2.2.1.4.3

Умножим $6$ на $3$ .

$x = 18$

Этап 1.2.7

Найдем период $\cot (\frac{π x}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 1.2.7.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{12}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

Этап 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ приблизительно равно $0.26179938$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

Этап 1.2.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{12}{π}$

Этап 1.2.7.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.5.1

Сократим общий множитель.

$π \frac{12}{π}$

Этап 1.2.7.5.2

Перепишем это выражение.

$12$

Этап 1.2.8

Период функции $\cot (\frac{π x}{12})$ равен $12$ . Поэтому значения повторяются через каждые $12$ рад. в обоих направлениях.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.9

Объединим ответы.

$x = 6 + 12 n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6 + 12 n$ .

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $6 + 12 n$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $6$ из $π (6 + 12 n)$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\cot (\frac{π x}{12})$ равным $π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{π x}{12} = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Упростим $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Вынесем множитель $π$ из $π n$ .

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

Этап 2.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Этап 2.2.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 12 n$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 12 n}$ , для любого целого $n$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 12 n}$ , для любого целого $n$

Этап 3

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Этап 4