Тригонометрия Примеры

$f (x) = 6 (x - 4) (6 - 3 x)$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $6 (x - 4) (6 - 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(6 x + 6 \cdot - 4) (6 - 3 x)$

Этап 1.1.1.1.2

Умножим $6$ на $- 4$ .

$(6 x - 24) (6 - 3 x)$

Этап 1.1.1.1.3

Развернем $(6 x - 24) (6 - 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x (6 - 3 x) - 24 (6 - 3 x)$

Этап 1.1.1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot 6 + 6 x (- 3 x) - 24 (6 - 3 x)$

Этап 1.1.1.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot 6 + 6 x (- 3 x) - 24 \cdot 6 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$36 x + 6 x (- 3 x) - 24 \cdot 6 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x + 6 \cdot - 3 x \cdot x - 24 \cdot 6 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 3 (x \cdot x) - 24 \cdot 6 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x + 6 \cdot - 3 x^{2} - 24 \cdot 6 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4.1.4

Умножим $6$ на $- 3$ .

$36 x - 18 x^{2} - 24 \cdot 6 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4.1.5

Умножим $- 24$ на $6$ .

$36 x - 18 x^{2} - 144 - 24 (- 3 x)$

Этап 1.1.1.1.4.1.6

Умножим $- 3$ на $- 24$ .

$36 x - 18 x^{2} - 144 + 72 x$

Этап 1.1.1.1.4.2

Добавим $36 x$ и $72 x$ .

$108 x - 18 x^{2} - 144$

Этап 1.1.1.1.5

Изменим порядок $108 x$ и $- 18 x^{2}$ .

$- 18 x^{2} + 108 x - 144$

Этап 1.1.1.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 18$

$b = 108$

$c = - 144$

Этап 1.1.1.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{108}{2 \cdot - 18}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $108$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $108$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot - 18}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 18$ .

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 (- 18)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 54}{2 \cdot - 18}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{54}{- 18}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель $54$ и $- 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $18$ из $54$ .

$d = \frac{18 (3)}{- 18}$

Этап 1.1.1.4.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Этап 1.1.1.4.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$d = - 3$

Этап 1.1.1.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 144 - \frac{108^{2}}{4 \cdot - 18}$

Этап 1.1.1.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.5.2.1.1

Возведем $108$ в степень $2$ .

$e = - 144 - \frac{11664}{4 \cdot - 18}$

Этап 1.1.1.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 18$ .

$e = - 144 - \frac{11664}{- 72}$

Этап 1.1.1.5.2.1.3

Разделим $11664$ на $- 72$ .

$e = - 144 - - 162$

Этап 1.1.1.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 162$ .

$e = - 144 + 162$

Этап 1.1.1.5.2.2

Добавим $- 144$ и $162$ .

$e = 18$

Этап 1.1.1.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 18 {(x - 3)}^{2} + 18$ .

$- 18 {(x - 3)}^{2} + 18$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 18 {(x - 3)}^{2} + 18$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 18$

$h = 3$

$k = 18$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, 18)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 18}$

Этап 1.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $4$ на $- 18$ .

$\frac{1}{- 72}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{72}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, \frac{1295}{72})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{1297}{72}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, 18)$

Фокус: $(3, \frac{1295}{72})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{1297}{72}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, 18)$

Фокус: $(3, \frac{1295}{72})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{1297}{72}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 6 ((2) - 4) (6 - 3 \cdot 2)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $4$ из $2$ .

$f (2) = 6 \cdot (- 2 (6 - 3 \cdot 2))$

Этап 2.2.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$f (2) = - 12 (6 - 3 \cdot 2)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$f (2) = - 12 (6 - 6)$

Этап 2.2.4

Вычтем $6$ из $6$ .

$f (2) = - 12 \cdot 0$

Этап 2.2.5

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f (2) = 0$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 2$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 6 ((4) - 4) (6 - 3 \cdot 4)$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f (4) = 6 \cdot (0 (6 - 3 \cdot 4))$

Этап 2.5.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f (4) = 0 (6 - 3 \cdot 4)$

Этап 2.5.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f (4) = 0 (6 - 12)$

Этап 2.5.4

Вычтем $12$ из $6$ .

$f (4) = 0 \cdot - 6$

Этап 2.5.5

Умножим $0$ на $- 6$ .

$f (4) = 0$

Этап 2.5.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 4$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 2.7

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 18 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, 18)$

Фокус: $(3, \frac{1295}{72})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = \frac{1297}{72}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 18 \\ 4 & 0 \end{array}$

Этап 4