Тригонометрия Примеры

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x + \frac{7 π}{6})$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{π}{6}$

$c = - \frac{7 π}{6}$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Этап 3

Найдем период $\cos (\frac{π x}{6} + \frac{7 π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{6}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{6} |}$

Этап 3.3

$\frac{π}{6}$ приблизительно равно $0.52359877$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{6}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{6}{π}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{6}{π}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{6}{π}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 6$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $6$ .

$12$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{7 π}{6}}{\frac{π}{6}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{7 π}{6} \cdot \frac{6}{π}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 π}{6}$ в числитель.

Сдвиг фазы: $\frac{- 7 π}{6} \cdot \frac{6}{π}$

Этап 4.4.2

Вынесем множитель $π$ из $- 7 π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{π \cdot - 7}{6} \cdot \frac{6}{π}$

Этап 4.4.3

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{π \cdot - 7}{6} \cdot \frac{6}{π}$

Этап 4.4.4

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{- 7}{6} \cdot 6$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{- 7}{6} \cdot 6$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $- 7$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $12$

Сдвиг фазы: $- 7$ ( $7$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = \cos (\frac{π (- 7)}{6} + \frac{7 π}{6})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 7) = \cos (\frac{π (- 7) + 7 π}{6})$

Этап 6.1.2.2

Перенесем $- 7$ влево от $π$ .

$f (- 7) = \cos (\frac{- 7 π + 7 π}{6})$

Этап 6.1.2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Добавим $- 7 π$ и $7 π$ .

$f (- 7) = \cos (\frac{0}{6})$

Этап 6.1.2.3.2

Разделим $0$ на $6$ .

$f (- 7) = \cos (0)$

Этап 6.1.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- 7) = 1$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \cos (\frac{π (- 4)}{6} + \frac{7 π}{6})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \cos (\frac{π (- 4) + 7 π}{6})$

Этап 6.2.2.2

Перенесем $- 4$ влево от $π$ .

$f (- 4) = \cos (\frac{- 4 π + 7 π}{6})$

Этап 6.2.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Добавим $- 4 π$ и $7 π$ .

$f (- 4) = \cos (\frac{3 π}{6})$

Этап 6.2.2.3.2

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (- 4) = \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Этап 6.2.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (- 4) = \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 4) = \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 4) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (- 4) = 0$

Этап 6.2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \cos (\frac{π (- 1)}{6} + \frac{7 π}{6})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \cos (\frac{π (- 1) + 7 π}{6})$

Этап 6.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $π$ .

$f (- 1) = \cos (\frac{- 1 \cdot π + 7 π}{6})$

Этап 6.3.2.2.2

Перепишем $- 1 π$ в виде $- π$ .

$f (- 1) = \cos (\frac{- π + 7 π}{6})$

Этап 6.3.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Добавим $- π$ и $7 π$ .

$f (- 1) = \cos (\frac{6 π}{6})$

Этап 6.3.2.3.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- 1) = \cos (\frac{6 π}{6})$

Этап 6.3.2.3.2.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (- 1) = \cos (π)$

Этап 6.3.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (- 1) = - \cos (0)$

Этап 6.3.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 1$

Этап 6.3.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 6.3.2.7

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \cos (\frac{π (2)}{6} + \frac{7 π}{6})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \cos (\frac{π (2) + 7 π}{6})$

Этап 6.4.2.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (2) = \cos (\frac{2 π + 7 π}{6})$

Этап 6.4.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Добавим $2 π$ и $7 π$ .

$f (2) = \cos (\frac{9 π}{6})$

Этап 6.4.2.3.2

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (2) = \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Этап 6.4.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (2) = \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Этап 6.4.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (2) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (2) = 0$

Этап 6.4.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \cos (\frac{π (5)}{6} + \frac{7 π}{6})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = \cos (\frac{π (5) + 7 π}{6})$

Этап 6.5.2.2

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$f (5) = \cos (\frac{5 π + 7 π}{6})$

Этап 6.5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Добавим $5 π$ и $7 π$ .

$f (5) = \cos (\frac{12 π}{6})$

Этап 6.5.2.3.2

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12 π$ .

$f (5) = \cos (\frac{6 (2 π)}{6})$

Этап 6.5.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f (5) = \cos (\frac{6 (2 π)}{6 (1)})$

Этап 6.5.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (5) = \cos (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (5) = \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.3.2.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (5) = \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.4

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (5) = \cos (0)$

Этап 6.5.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (5) = 1$

Этап 6.5.2.6

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 7 & 1 \\ - 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \\ 2 & 0 \\ 5 & 1 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $12$

Сдвиг фазы: $- 7$ ( $7$ влево)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 7 & 1 \\ - 4 & 0 \\ - 1 & - 1 \\ 2 & 0 \\ 5 & 1 \end{array}$

Этап 8