Тригонометрия Примеры

$f (x) = \cos (\frac{2}{5} x)$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{2}{5}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Этап 3

Найдем период $\cos (\frac{2 x}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{2}{5}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{5} |}$

Этап 3.3

$\frac{2}{5}$ приблизительно равно $0.4$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2}{5}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{5}{2}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{5}{2}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{5}{2}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$π \cdot 5$

Этап 3.6

Перенесем $5$ влево от $π$ .

$5 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{2}{5}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{5}{2})$

Этап 4.4

Умножим $0$ на $\frac{5}{2}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $5 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (\frac{2 (0)}{5})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $2 (0)$ .

$f (0) = \cos (\frac{5 (2 \cdot (0))}{5})$

Этап 6.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (0) = \cos (\frac{5 (2 \cdot (0))}{5 (1)})$

Этап 6.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = \cos (\frac{5 (2 \cdot (0))}{5 \cdot 1})$

Этап 6.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

Этап 6.1.2.1.2.4

Разделим $2 \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = \cos (2 \cdot (0))$

Этап 6.1.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 6.1.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{4})}{5})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим $2$ и $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{5})$

Этап 6.2.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{5})$

Этап 6.2.2.3

Сократим выражение $\frac{10 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{5})$

Этап 6.2.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{5})$

Этап 6.2.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{5})$

Этап 6.2.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{5})$

Этап 6.2.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.2.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{5 (π)}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{4}) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

Этап 6.2.2.7

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{5 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{2})}{5})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{5 π}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2}}{5})$

Этап 6.3.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{10 π}{2}}{5})$

Этап 6.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Сократим выражение $\frac{10 π}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2}}{5})$

Этап 6.3.2.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (1)}}{5})$

Этап 6.3.2.3.1.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 1}}{5})$

Этап 6.3.2.3.1.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{\frac{5 π}{1}}{5})$

Этап 6.3.2.3.2

Разделим $5 π$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{5})$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (\frac{5 π}{5})$

Этап 6.3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = \cos (π)$

Этап 6.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{5 π}{2}) = - \cos (0)$

Этап 6.3.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 6.3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 1$

Этап 6.3.2.8

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{15 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{15 π}{4}$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{2 (\frac{15 π}{4})}{5})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{15 π}{4}$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{4}}{5})$

Этап 6.4.2.2

Умножим $2$ на $15$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{30 π}{4}}{5})$

Этап 6.4.2.3

Сократим выражение $\frac{30 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $30 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{4}}{5})$

Этап 6.4.2.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{2 (2)}}{5})$

Этап 6.4.2.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (15 π)}{2 \cdot 2}}{5})$

Этап 6.4.2.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{\frac{15 π}{2}}{5})$

Этап 6.4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{15 π}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.4.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $15 π$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{5 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{5 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{5})$

Этап 6.4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{15 π}{4}) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{15 π}{4}) = 0$

Этап 6.4.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 5 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5 π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (5 π)}{5})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (5 π)}{5})$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $2 (π)$ на $1$ .

$f (5 π) = \cos (2 (π))$

Этап 6.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (5 π) = \cos (0)$

Этап 6.5.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (5 π) = 1$

Этап 6.5.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{5 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - 1 \\ \frac{15 π}{4} & 0 \\ 5 π & 1 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $5 π$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{5 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{2} & - 1 \\ \frac{15 π}{4} & 0 \\ 5 π & 1 \end{array}$

Этап 8