Тригонометрия Примеры

$f (x) = \cos (\frac{1}{4} x + \frac{π}{3})$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Этап 3

Найдем период $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{4}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Этап 3.3

$\frac{1}{4}$ приблизительно равно $0.25$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 4$

Этап 3.5

Умножим $4$ на $2$ .

$8 π$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{3}}{\frac{1}{4}}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{3} \cdot 4$

Этап 4.4

Умножим $- \frac{π}{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

Сдвиг фазы: $- 4 \frac{π}{3}$

Этап 4.4.2

Объединим $- 4$ и $\frac{π}{3}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{- 4 π}{3}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

Сдвиг фазы: $- \frac{4 π}{3}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $8 π$

Сдвиг фазы: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{4 π}{3}$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{- \frac{4 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (- \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 π}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{- 4 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 π$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{4 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{4 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{- π}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (- \frac{π}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 6.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{- π + π}{3})$

Этап 6.1.2.2.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (\frac{0}{3})$

Этап 6.1.2.2.3

Разделим $0$ на $3$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{4 π}{3}) = 1$

Этап 6.1.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{\frac{2 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.2

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.2.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Этап 6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

Этап 6.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

Этап 6.2.2.5.2

Добавим $π$ и $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{6})$

Этап 6.2.2.6

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Этап 6.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Этап 6.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

Этап 6.2.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{8 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8 π}{3}$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{\frac{8 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 6.3.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{2 π + π}{3})$

Этап 6.3.2.2.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{3})$

Этап 6.3.2.2.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \cos (π)$

Этап 6.3.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{8 π}{3}) = - \cos (0)$

Этап 6.3.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 1 \cdot 1$

Этап 6.3.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = - 1$

Этап 6.3.2.6

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{14 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{14 π}{3}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{\frac{14 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $14 π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.1.3

Умножим $\frac{7 π}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3})$

Этап 6.4.2.2

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

Этап 6.4.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

Этап 6.4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

Этап 6.4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

Этап 6.4.2.5.2

Добавим $7 π$ и $2 π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{9 π}{6})$

Этап 6.4.2.6

Сократим общий множитель $9$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Этап 6.4.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Этап 6.4.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Этап 6.4.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{14 π}{3}) = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.8

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{14 π}{3}) = 0$

Этап 6.4.2.9

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{20 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{20 π}{3}$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{\frac{20 π}{3}}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.5.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20 π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.5.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 6.5.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 6.5.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{5 π + π}{3})$

Этап 6.5.2.2.2

Добавим $5 π$ и $π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{6 π}{3})$

Этап 6.5.2.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6 π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

Этап 6.5.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

Этап 6.5.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.2.3.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = \cos (0)$

Этап 6.5.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{20 π}{3}) = 1$

Этап 6.5.2.5

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{4 π}{3} & 1 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 1 \\ \frac{14 π}{3} & 0 \\ \frac{20 π}{3} & 1 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $8 π$

Сдвиг фазы: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{4 π}{3} & 1 \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{8 π}{3} & - 1 \\ \frac{14 π}{3} & 0 \\ \frac{20 π}{3} & 1 \end{array}$

Этап 8