Тригонометрия Примеры

$y = - 2 \sin (4 x + \frac{π}{2})$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 2$

$b = 4$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $2$

Этап 3

Найдем период $- 2 \sin (4 x + \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 3.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{π}{2}}{4}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 4.4

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{π}{2}$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{4 \cdot 2}$

Этап 4.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{8}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{8}$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (- \frac{π}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{- π}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{- π}{4 (2)}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{- π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{- π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{- π + π}{2})$

Этап 6.1.2.2.2

Добавим $- π$ и $π$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{0}{2})$

Этап 6.1.2.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \sin (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (- \frac{π}{8}) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.1.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (- \frac{π}{8}) = 0$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \sin (4 (0) + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = - 2 \sin (0 + \frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Этап 6.2.2.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (0) = - 2$

Этап 6.2.2.5

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{8}$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{π}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{π}{4 (2)}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{π + π}{2})$

Этап 6.3.2.3

Добавим $π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{2 π}{2})$

Этап 6.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (\frac{2 π}{2})$

Этап 6.3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (π)$

Этап 6.3.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \sin (0)$

Этап 6.3.2.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{π}{8}) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.3.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (\frac{π}{8}) = 0$

Этап 6.3.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (4 (\frac{π}{4}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (4 (\frac{π}{4}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (π + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Этап 6.4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Этап 6.4.2.4.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 6.4.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.4.2.7

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \cdot - 1$

Этап 6.4.2.7.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2$

Этап 6.4.2.8

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{3 π}{8}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{3 π}{4 (2)}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}) + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 6.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{3 π + π}{2})$

Этап 6.5.2.3

Добавим $3 π$ и $π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{4 π}{2})$

Этап 6.5.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Этап 6.5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Этап 6.5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Этап 6.5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (\frac{2 π}{1})$

Этап 6.5.2.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (2 π)$

Этап 6.5.2.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \sin (0)$

Этап 6.5.2.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 2 \cdot 0$

Этап 6.5.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 0$

Этап 6.5.2.8

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{8} & 0 \\ 0 & - 2 \\ \frac{π}{8} & 0 \\ \frac{π}{4} & 2 \\ \frac{3 π}{8} & 0 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $2$

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{8} & 0 \\ 0 & - 2 \\ \frac{π}{8} & 0 \\ \frac{π}{4} & 2 \\ \frac{3 π}{8} & 0 \end{array}$

Этап 8