Тригонометрия Примеры

$f (x) = \ln (\arcsin (\frac{x + 2}{5 - x}))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$\arcsin (\frac{x + 2}{5 - x}) = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из арксинуса.

$\frac{x + 2}{5 - x} = \sin (0)$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разобьем дробь $\frac{x + 2}{5 - x}$ на две дроби.

$\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = \sin (0)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$

Этап 1.2.4

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5 - x, 5 - x, 1$

Этап 1.2.4.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.4.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.4.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.2.4.5

Множителем $5 - x$ является само значение $5 - x$ .

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.2.4.6

НОК $5 - x, 5 - x$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5 - x$

Этап 1.2.5

Каждый член в $\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$ умножим на $5 - x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим каждый член $\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$ на $5 - x$ .

$\frac{x}{5 - x} (5 - x) + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Этап 1.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель $5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{5 - x} (5 - x) + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Этап 1.2.5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Этап 1.2.5.2.1.2

Сократим общий множитель $5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Этап 1.2.5.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x + 2 = 0 (5 - x)$

Этап 1.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.3.1

Умножим $0$ на $5 - x$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = - 2$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 2$

Этап 2

Найдем точку в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{(- 1) + 2}{5 - (- 1)}))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{5 - (- 1)}))$

Этап 2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{5 + 1}))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $5$ и $1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{6}))$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{6})$ .

$f (- 1) = \ln (0.16744807)$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $\ln (0.16744807)$ .

$\ln (0.16744807)$

Этап 3

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{(0) + 2}{5 - (0)}))$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5 - (0)}))$

Этап 3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5 + 0}))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $5$ и $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5}))$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$f (0) = \ln (0.41151684)$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $\ln (0.41151684)$ .

$\ln (0.41151684)$

Этап 4

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{(1) + 2}{5 - (1)}))$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{5 - (1)}))$

Этап 4.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{5 - 1}))$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $5$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{4}))$

Этап 4.2.3

Найдем значение $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$f (1) = \ln (0.84806207)$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $\ln (0.84806207)$ .

$\ln (0.84806207)$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - 2$ и точек $(- 1, - 1.78708195), (0, - 0.88790532), (1, - 0.16480143)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1.787 \\ 0 & - 0.888 \\ 1 & - 0.165 \end{array}$

Этап 6