Тригонометрия Примеры

$g (x) = \frac{1}{2^{x - 3}} + 1$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{1}{2^{x - 3}} + 1$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Этап 3.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Этап 3.1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Этап 3.1.1.2.2

Поскольку показатель степени $x - 3$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x - 3}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Этап 3.1.1.2.3

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Этап 3.1.1.3

Поскольку показатель степени $x - 3$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x - 3}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.2

По правилу суммы производная $1 + 2^{x - 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.4.6

Умножим $2^{x - 3}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.5

Добавим $0$ и $2^{x - 3} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Этап 3.1.3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.1.3.6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.1.3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Этап 3.1.3.7

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Этап 3.1.3.9

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}$

Этап 3.1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}$

Этап 3.1.3.11

Умножим $2^{x - 3}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

Этап 3.1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель $2^{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

Этап 3.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 3.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} 1$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$1$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 1$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 1$

Нет наклонных асимптот

Этап 7