Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sec (\frac{π}{2} x) - 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \sec (\frac{π x}{2}) - 2$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \sec (\frac{π x}{2}) - 2$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = - π$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $π x = - π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $π x = - π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{π}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{- π}{π}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- π}{π}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- π}{π}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $\frac{π x}{2}$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = 3 π$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $π x = 3 π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $π x = 3 π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{3 π}{π}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{3 π}{π}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3 π}{π}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{π}$

Этап 1.4.2.3.1.2

Разделим $3$ на $1$ .

$x = 3$

Этап 1.5

Основной период $y = \sec (\frac{π x}{2}) - 2$ находится на промежутке $(- 1, 3)$ , где $- 1$ и $3$ являются вертикальными асимптотами.

$(- 1, 3)$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 1.6.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 1.6.3.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 1.6.3.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 1.6.4

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \sec (\frac{π x}{2}) - 2$ находятся в $- 1$ , $3$ и в каждой точке $2 n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = 3 + 2 n$

Этап 1.8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \sec (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{π}{2}$

$c = 0$

$d = - 2$

Этап 3

Поскольку график функции $s e c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $\sec (\frac{π x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.1.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 4.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 4.2

Найдем период $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 4.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$4$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{π}{2}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{2}{π})$

Этап 5.4

Умножим $0$ на $\frac{2}{π}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $4$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = 3 + 2 n$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $4$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 8