Тригонометрия Примеры

$f (x) = 20 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $20 x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 20$

$b = - 12$

$c = 0$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 20}$

Этап 1.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 20}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (20)}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 20}$

Этап 1.1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 6}{20}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 (- 3)}{20}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 10}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 10}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 3}{10}$

Этап 1.1.1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{10}$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 20}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 20}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $20$ .

$e = 0 - \frac{144}{80}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Сократим общий множитель $144$ и $80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $16$ из $144$ .

$e = 0 - \frac{16 (9)}{80}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$e = 0 - \frac{16 \cdot 9}{16 \cdot 5}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{16 \cdot 9}{16 \cdot 5}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{9}{5}$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $\frac{9}{5}$ из $0$ .

$e = - \frac{9}{5}$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $20 {(x - \frac{3}{10})}^{2} - \frac{9}{5}$ .

$20 {(x - \frac{3}{10})}^{2} - \frac{9}{5}$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = 20 {(x - \frac{3}{10})}^{2} - \frac{9}{5}$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 20$

$h = \frac{3}{10}$

$k = - \frac{9}{5}$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(\frac{3}{10}, - \frac{9}{5})$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 20}$

Этап 1.5.3

Умножим $4$ на $20$ .

$\frac{1}{80}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{3}{10}, - \frac{143}{80})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = \frac{3}{10}$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{29}{16}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{10}, - \frac{9}{5})$

Фокус: $(\frac{3}{10}, - \frac{143}{80})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{10}$

Директриса: $y = - \frac{29}{16}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{10}, - \frac{9}{5})$

Фокус: $(\frac{3}{10}, - \frac{143}{80})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{10}$

Директриса: $y = - \frac{29}{16}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 20 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 20 \cdot 1 - 12 \cdot 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $20$ на $1$ .

$f (1) = 20 - 12 \cdot 1$

Этап 2.2.1.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f (1) = 20 - 12$

Этап 2.2.2

Вычтем $12$ из $20$ .

$f (1) = 8$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 1$ равно $8$ .

$y = 8$

Этап 2.4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{3}{10} & - \frac{9}{5} \\ 1 & 8 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(\frac{3}{10}, - \frac{9}{5})$

Фокус: $(\frac{3}{10}, - \frac{143}{80})$

Ось симметрии: $x = \frac{3}{10}$

Директриса: $y = - \frac{29}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{3}{10} & - \frac{9}{5} \\ 1 & 8 \end{array}$

Этап 4