Тригонометрия Примеры

$f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$

Этап 1

Найдем область определения $y = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (11 - x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$11 - x > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей неравенства.

$- x > - 11$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x > - 11$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x > - 11$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 11}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{- 11}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 11}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 11$ на $- 1$ .

$x < 11$

Этап 1.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 5}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 5 \geq 0$

Этап 1.4

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 5$

Этап 1.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[5, 11)$

Обозначение построения множества:

${x | 5 \leq x < 11}$

Интервальное представление:

$[5, 11)$

Обозначение построения множества:

${x | 5 \leq x < 11}$

Этап 2

Чтобы найти конечные точки, подставим граничные значения $x$ из области определения в $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = \sqrt{(5) - 5} - \log_{3} (11 - (5))$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (5) = \sqrt{0} - \log_{3} (11 - (5))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (5) = \sqrt{0^{2}} - \log_{3} (11 - (5))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - (5))$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (11 - 5)$

Этап 2.2.1.5

Вычтем $5$ из $11$ .

$f (5) = 0 - \log_{3} (6)$

Этап 2.2.2

Вычтем $\log_{3} (6)$ из $0$ .

$f (5) = - \log_{3} (6)$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- \log_{3} (6)$ .

$- \log_{3} (6)$

Этап 2.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $11$ .

$f (11) = \sqrt{(11) - 5} - \log_{3} (11 - (11))$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $5$ из $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - (11))$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (11 - 11)$

Этап 2.4.3

Вычтем $11$ из $11$ .

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

Этап 2.4.4

Логарифм нуля не определен.

$f (11) = Undefined$

$f (11) = \sqrt{6} - \log_{3} (0)$

Этап 2.5

Логарифм нуля не определен.

$f (11) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечные точки: $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$ .

$(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $6$ в $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . В данном случае получится точка $(6, 1 - \log_{3} (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \sqrt{(6) - 5} - \log_{3} (11 - (6))$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $5$ из $6$ .

$f (6) = \sqrt{1} - \log_{3} (11 - (6))$

Этап 4.1.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - (6))$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (11 - 6)$

Этап 4.1.2.1.4

Вычтем $6$ из $11$ .

$f (6) = 1 - \log_{3} (5)$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $1 - \log_{3} (5)$ .

$y = 1 - \log_{3} (5)$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $7$ в $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . В данном случае получится точка $(7, \sqrt{2} - \log_{3} (4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = \sqrt{(7) - 5} - \log_{3} (11 - (7))$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вычтем $5$ из $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - (7))$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (11 - 7)$

Этап 4.2.2.1.3

Вычтем $7$ из $11$ .

$f (7) = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2} - \log_{3} (4)$ .

$y = \sqrt{2} - \log_{3} (4)$

Этап 4.3

Подставим значение $x$ $8$ в $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . В данном случае получится точка $(8, \sqrt{3} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = \sqrt{(8) - 5} - \log_{3} (11 - (8))$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вычтем $5$ из $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - (8))$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (11 - 8)$

Этап 4.3.2.1.3

Вычтем $8$ из $11$ .

$f (8) = \sqrt{3} - \log_{3} (3)$

Этап 4.3.2.1.4

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (8) = \sqrt{3} - 1$

Этап 4.3.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{3} - 1$ .

$y = \sqrt{3} - 1$

Этап 4.4

Подставим значение $x$ $9$ в $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . В данном случае получится точка $(9, 2 - \log_{3} (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = \sqrt{(9) - 5} - \log_{3} (11 - (9))$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вычтем $5$ из $9$ .

$f (9) = \sqrt{4} - \log_{3} (11 - (9))$

Этап 4.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (9) = \sqrt{2^{2}} - \log_{3} (11 - (9))$

Этап 4.4.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - (9))$

Этап 4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (11 - 9)$

Этап 4.4.2.1.5

Вычтем $9$ из $11$ .

$f (9) = 2 - \log_{3} (2)$

Этап 4.4.2.2

Окончательный ответ: $2 - \log_{3} (2)$ .

$y = 2 - \log_{3} (2)$

Этап 4.5

Подставим значение $x$ $10$ в $f (x) = \sqrt{x - 5} - \log_{3} (11 - x)$ . В данном случае получится точка $(10, \sqrt{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f (10) = \sqrt{(10) - 5} - \log_{3} (11 - (10))$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вычтем $5$ из $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - (10))$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (11 - 10)$

Этап 4.5.2.1.3

Вычтем $10$ из $11$ .

$f (10) = \sqrt{5} - \log_{3} (1)$

Этап 4.5.2.1.4

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} - 0$

Этап 4.5.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (10) = \sqrt{5} + 0$

Этап 4.5.2.2

Добавим $\sqrt{5}$ и $0$ .

$f (10) = \sqrt{5}$

Этап 4.5.2.3

Окончательный ответ: $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Этап 4.6

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(5, - \log_{3} (6)), (11, Undefined), (6, - 0.46), (7, 0.15), (8, 0.73), (9, 1.37), (10, 2.24)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & - \log_{3} (6) \\ 6 & - 0.46 \\ 7 & 0.15 \\ 8 & 0.73 \\ 9 & 1.37 \\ 10 & 2.24 \\ 11 & Undefined \end{array}$

Этап 5