Тригонометрия Примеры

$\tan (\frac{19 π}{12})$

Этап 1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{19 π}{12}$ можно разделить на $\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3}$ .

$\tan (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 2

Используем формулу тангенса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 3.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 4.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (\frac{π}{3})}$

Этап 4.4

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

Этап 4.5

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Этап 5

Умножим $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Этап 6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $1 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 7.2

Возведем $1 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Этап 8

Перепишем ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 9

Развернем $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.1.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.1.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Этап 10.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Этап 10.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Этап 10.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Этап 10.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 10.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 11

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 11.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Этап 12

Перепишем $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ в виде $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Этап 14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 3.73205080 \dots$