Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{2}{3} \cdot \tan (\frac{3}{4} x + π) - 2$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ .

$\frac{3 x}{4} + π = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} - π$

Этап 1.2.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Этап 1.2.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $- π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- 3 π}{2}$

Этап 1.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Этап 1.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Этап 1.2.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Этап 1.2.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Этап 1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Этап 1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим $\frac{4}{3} (- \frac{3 π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{- 3 π}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{- 3 π}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- 3 π}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3} (- 3 π)$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 π$ .

$x = \frac{2}{3} (3 (- π))$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{3} (3 (- π))$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- π)$

Этап 1.2.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = - 2 π$

Этап 1.3

Приравняем аргумент $\frac{3 x}{4} + π$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} + π = \frac{π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} - π$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $- π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x}{4} = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π - 2 π}{2}$

Этап 1.4.1.5.2

Вычтем $2 π$ из $π$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{- π}{2}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2}$

Этап 1.4.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.4.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.4.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.4.3.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.4.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.4.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Упростим $\frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 1.4.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 1.4.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 1.4.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3} (- π)$

Этап 1.4.3.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $π$ .

$x = - \frac{2 π}{3}$

Этап 1.5

Основной период $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ находится на промежутке $(- 2 π, - \frac{2 π}{3})$ , где $- 2 π$ и $- \frac{2 π}{3}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- 2 π, - \frac{2 π}{3})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

$\frac{3}{4}$ приблизительно равно $0.75$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Этап 1.6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{4}{3}$

Этап 1.6.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 1.6.4

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3} - 2$ находятся в точках $- 2 π$ , $- \frac{2 π}{3}$ и в каждой точке $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , где $n$ ― целое число.

$x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$

Этап 1.8

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \tan (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = \frac{2}{3}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = - π$

$d = - 2$

Этап 3

Поскольку график функции $t a n$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период, используя формулу $\frac{π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем период $\frac{2 \tan (\frac{3 x}{4} + π)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.1.2

Заменим $b$ на $\frac{3}{4}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{3}{4} |}$

Этап 4.1.3

$\frac{3}{4}$ приблизительно равно $0.75$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Этап 4.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{4}{3}$

Этап 4.1.5

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 4.1.6

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 4.2

Найдем период $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 4.2.2

Заменим $b$ на $\frac{3}{4}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{3}{4} |}$

Этап 4.2.3

$\frac{3}{4}$ приблизительно равно $0.75$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Этап 4.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{4}{3}$

Этап 4.2.5

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 4.2.6

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 4.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{4 π}{3}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- π}{\frac{3}{4}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- π \frac{4}{3}$

Этап 5.4

Объединим $\frac{4}{3}$ и $π$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{4 π}{3}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{4 π}{3}$

Сдвиг фазы: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ влево)

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = - 2 π + \frac{4 π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{4 π}{3}$

Сдвиг фазы: $- \frac{4 π}{3}$ ( $\frac{4 π}{3}$ влево)

Смещение по вертикали: $- 2$

Этап 8