Тригонометрия Примеры

$f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | \log_{3} (x + 5) |$ лежит в точке $(- 4, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\log_{3} (x + 5)$ равным $0$ . В данном случае $\log_{3} (x + 5) = 0$ .

$\log_{3} (x + 5) = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\log_{3} (x + 5) = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\log_{3} (x + 5) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{0} = x + 5$

Этап 1.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем уравнение в виде $x + 5 = 3^{0}$ .

$x + 5 = 3^{0}$

Этап 1.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x + 5 = 1$

Этап 1.2.2.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = 1 - 5$

Этап 1.2.2.3.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$x = - 4$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$y = | \log_{3} ((- 4) + 5) |$

Этап 1.4

Упростим $| \log_{3} ((- 4) + 5) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $- 4$ и $5$ .

$y = | \log_{3} (1) |$

Этап 1.4.2

Логарифм $1$ по основанию $3$ равен $0$ .

$y = | 0 |$

Этап 1.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(- 4, 0)$ .

$(- 4, 0)$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (x + 5)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 5 > 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$x > - 5$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 5}$

Интервальное представление:

$(- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 5}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 3$ в $f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$ . В данном случае получится точка $(- 3, \log_{3} (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = | \log_{3} ((- 3) + 5) |$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим $- 3$ и $5$ .

$f (- 3) = | \log_{3} (2) |$

Этап 3.1.2.2

$\log_{3} (2)$ приблизительно равно $0.63092975$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (- 3) = \log_{3} (2)$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $\log_{3} (2)$ .

$y = \log_{3} (2)$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | \log_{3} (x + 5) |$ . В данном случае получится точка $(- 2, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | \log_{3} ((- 2) + 5) |$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 2$ и $5$ .

$f (- 2) = | \log_{3} (3) |$

Этап 3.2.2.2

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (- 2) = | 1 |$

Этап 3.2.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (- 2) = 1$

Этап 3.2.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 3.3

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 4, 0), (- 3, 0.63), (- 2, 1)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 0.63 \\ - 2 & 1 \end{array}$

Этап 4