Тригонометрия Примеры

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ лежит в точке $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\cos (\frac{π x}{2})$ равным $0$ . В данном случае $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$π x = π$

Этап 1.2.4

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Разделим каждый член $π x = π$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{π}$

Этап 1.2.4.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 1.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Упростим $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1

Упростим $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 1.2.6.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.6.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

Этап 1.2.6.2.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

Этап 1.2.6.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

Этап 1.2.6.2.2.1.7

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.2.1.7.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Этап 1.2.6.2.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Этап 1.2.6.2.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$x = 3$

Этап 1.2.7

Найдем период $\cos (\frac{π x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.7.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Этап 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ приблизительно равно $1.57079632$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Этап 1.2.7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{π}$

Этап 1.2.7.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 1.2.7.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Этап 1.2.7.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 2$

Этап 1.2.7.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 1.2.8

Период функции $\cos (\frac{π x}{2})$ равен $4$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.9

Объединим ответы.

$x = 1 + 2 n$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1 + 2 n$ .

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Этап 1.4

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Этап 4