Тригонометрия Примеры

$f (x) = (- \csc (4 x))$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от скобок.

$y = - \csc (4 x)$

Этап 1.2

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = - \csc (4 x)$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = - \csc (4 x)$ .

$4 x = 0$

Этап 1.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 1.4

Выражение внутри косеканса $4 x$ приравняем $2 π$ .

$4 x = 2 π$

Этап 1.5

Разделим каждый член $4 x = 2 π$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $4 x = 2 π$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Этап 1.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Этап 1.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{2}$

Этап 1.6

Основной период $y = - \csc (4 x)$ находится на промежутке $(0, \frac{π}{2})$ , где $0$ и $\frac{π}{2}$ являются вертикальными асимптотами.

$(0, \frac{π}{2})$

Этап 1.7

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 1.8

Вертикальные асимптоты $y = - \csc (4 x)$ находятся в $0$ , $\frac{π}{2}$ и в каждой точке $\frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{π n}{4}$

Этап 1.9

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \csc (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $c s c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $- \csc (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{4}$

Этап 5.3

Разделим $0$ на $4$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8