Тригонометрия Примеры

$f (x) = \frac{2 e - x}{x} - \ln (x)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ не определено.

$x \leq 0$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 1$

$m = 1$

Этап 1.5

Поскольку $n = m$ , горизонтальной асимптотой является прямая $y = \frac{a}{b}$ , где $a = - 2$ и $b = 1$ .

$y = - 2$

Этап 1.6

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = - 2$

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = - 2$

Этап 2

Найдем точку в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{2 e - (1)}{1} - \ln (1)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{2 e - 1}{1} - \ln (1)$

Этап 2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим $2 e - 1$ на $1$ .

$f (1) = 2 e - 1 - \ln (1)$

Этап 2.2.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 - 0$

Этап 2.2.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 + 0$

Этап 2.2.3

Добавим $2 e$ и $0$ .

$f (1) = 2 e - 1$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $2 e - 1$ .

$2 e - 1$

Этап 2.3

Преобразуем $2 e - 1$ в десятичное представление.

$y = 4.43656365$

Этап 3

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2 e - (2)}{2} - \ln (2)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (2) = \frac{2 e - 2}{2} - \ln (2)$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2 e - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e$ .

$f (2) = \frac{2 (e) - 2}{2} - \ln (2)$

Этап 3.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (2) = \frac{2 (e) + 2 \cdot - 1}{2} - \ln (2)$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (e) + 2 (- 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2} - \ln (2)$

Этап 3.2.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 (1)} - \ln (2)$

Этап 3.2.2.4.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 \cdot 1} - \ln (2)$

Этап 3.2.2.4.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{e - 1}{1} - \ln (2)$

Этап 3.2.2.4.4

Разделим $e - 1$ на $1$ .

$f (2) = e - 1 - \ln (2)$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $e - 1 - \ln (2)$ .

$e - 1 - \ln (2)$

Этап 3.3

Преобразуем $e - 1 - \ln (2)$ в десятичное представление.

$y = 1.02513464$

Этап 4

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - (3)}{3} - \ln (3)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3)$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- \ln (3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $- \ln (3)$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} + \frac{- \ln (3) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- \ln (3) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - 3 \ln (3)}{3}$

Этап 4.2.4.1.2

Упростим $- 3 \ln (3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3^{3})}{3}$

Этап 4.2.4.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ .

$\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ в десятичное представление.

$y = - 0.2864244$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 0$ и точек $(1, 4.43656365), (2, 1.02513464), (3, - 0.2864244)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.437 \\ 2 & 1.025 \\ 3 & - 0.286 \end{array}$

Этап 6