Тригонометрия Примеры

$9 x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 5.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 5.3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 5.3.9.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 5.3.9.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}}$

Этап 5.3.9.4

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}}$

Этап 5.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}}$

Этап 5.3.11

Добавим $4$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Этап 5.3.12

Перепишем $\sqrt{\frac{13}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Этап 5.3.13

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.13.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Этап 5.3.13.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{3}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Этап 8.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Этап 8.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Этап 8.3.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} \cdot 3$

Этап 8.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}} \cdot 3$

Этап 8.3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

Этап 8.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

Этап 8.3.9

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Этап 8.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Этап 8.3.10.2

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Этап 8.3.10.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}} \cdot 3$

Этап 8.3.10.4

Умножим $4$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}} \cdot 3$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}} \cdot 3$

Этап 8.3.12

Добавим $4$ и $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 3$

Этап 8.3.13

Перепишем $\sqrt{\frac{13}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 3$

Этап 8.3.14

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.14.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 3$

Этап 8.3.14.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 3$

Этап 8.3.15

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3 (2)} \cdot 3$

Этап 8.3.15.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{13}}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Этап 8.3.15.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Этап 9.3.3.3

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{6 \sqrt{13}}$

Этап 9.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Этап 9.3.5

Умножим $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Этап 9.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ на $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Этап 9.3.6.2

Перенесем $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Этап 9.3.6.3

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Этап 9.3.6.4

Возведем $\sqrt{13}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Этап 9.3.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Этап 9.3.6.7

Перепишем ${\sqrt{13}}^{2}$ в виде $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{13}$ в виде $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Этап 9.3.6.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Этап 9.3.7

Умножим $6$ на $13$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Этап 9.3.8

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{4 \cdot 78}$

Этап 9.3.8.2

Умножим $4$ на $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{312}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{3}{2} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{3}{2} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{3}{2} x$ и $0$ .

$y = \frac{3}{2} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

Этап 12

Упростим $- \frac{3}{2} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{3}{2} x$ и $0$ .

$y = - \frac{3}{2} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2}$

Этап 12.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Фокусы: $(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{13}}{312}$

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2}$

Этап 15