Тригонометрия Примеры

$A (w) = w (480 - 3 w)$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $x (480 - 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot 480 + x (- 3 x)$

Этап 1.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Перенесем $480$ влево от $x$ .

$y = 480 \cdot x + x (- 3 x)$

Этап 1.1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = 480 \cdot x - 3 x \cdot x$

Этап 1.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перенесем $x$ .

$y = 480 x - 3 (x \cdot x)$

Этап 1.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = 480 x - 3 x^{2}$

Этап 1.1.3

Изменим порядок $480 x$ и $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 480 x$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 3 x^{2} + 480 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 3$

$b = 480$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{480}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $480$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $480$ .

$d = \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 240}{2 (- 3)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot - 3}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{240}{- 3}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $240$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $240$ .

$d = \frac{3 (80)}{- 3}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{80}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 80$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $80$ .

$d = - 80$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{480^{2}}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $480$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{230400}{4 \cdot - 3}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$e = 0 - \frac{230400}{- 12}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $230400$ на $- 12$ .

$e = 0 - - 19200$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 19200$ .

$e = 0 + 19200$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $19200$ .

$e = 19200$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 3 {(x - 80)}^{2} + 19200$ .

$- 3 {(x - 80)}^{2} + 19200$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - 3 {(x - 80)}^{2} + 19200$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 3$

$h = 80$

$k = 19200$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(80, 19200)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{12}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(80, \frac{230399}{12})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 80$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{230401}{12}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(80, 19200)$

Фокус: $(80, \frac{230399}{12})$

Ось симметрии: $x = 80$

Директриса: $y = \frac{230401}{12}$

Этап 10