Тригонометрия Примеры

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 9}{9}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

Этап 1.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.1.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 18$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $324$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Этап 1.1.4.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

Этап 1.2

Подставим $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ вместо $9 x^{2} - 18 x$ в уравнение $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} + 8 y = 23$

Этап 1.3

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} + 8 y = 23 + 9$

Этап 1.4

Составим полный квадрат для $- 4 y^{2} + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- 4)}$

Этап 1.4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{- 4}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 (1)}{- 4}$

Этап 1.4.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 1.4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Этап 1.4.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Этап 1.4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Этап 1.4.4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$e = 4$

Этап 1.4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$

Этап 1.5

Подставим $- 4 {(y - 1)}^{2} + 4$ вместо $- 4 y^{2} + 8 y$ в уравнение $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x + 8 y = 23$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} + 4 = 23 + 9$

Этап 1.6

Перенесем $4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 23 + 9 - 4$

Этап 1.7

Упростим $23 + 9 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $23$ и $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 32 - 4$

Этап 1.7.2

Вычтем $4$ из $32$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y - 1)}^{2} = 28$

Этап 1.8

Разделим каждый член на $28$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{28} - \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{28} = \frac{28}{28}$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{\frac{28}{9}} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{7} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$

$b = \sqrt{7}$

$k = 1$

$h = 1$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{1}}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{3^{2}} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{9} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $4$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.3.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{1}}$

Этап 5.3.3.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7}$

Этап 5.3.4

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7 \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 5.3.5

Объединим $7$ и $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}}$

Этап 5.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{28 + 7 \cdot 9}{9}}$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{28 + 63}{9}}$

Этап 5.3.7.2

Добавим $28$ и $63$ .

$\sqrt{\frac{91}{9}}$

Этап 5.3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{91}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}}$

Этап 5.3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{3^{2}}}$

Этап 5.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{91}}{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(1 + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1), (1 - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 + \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(1 - \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(1 + \frac{\sqrt{91}}{3}, 1), (1 - \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{\frac{2 \sqrt{7}}{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{{(\frac{2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{7}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7^{1}}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{3^{2}} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4

Упростим путем сокращения экспоненты с радикалом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 7}{9} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $4$ на $7$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {\sqrt{7}}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.3

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{\frac{2}{2}}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7^{1}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.4.3.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.5

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + 7 \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.6

Объединим $7$ и $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{28}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{28 + 7 \cdot 9}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\sqrt{\frac{28 + 63}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.8.2

Добавим $28$ и $63$ .

$\sqrt{\frac{91}{9}} \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{91}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{3^{2}}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{91}}{3} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.11.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{91} \frac{1}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.11.2

Объединим $\sqrt{91}$ и $\frac{1}{2 \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{91}}{2 \sqrt{7}}$

Этап 8.3.12

Объединим $\sqrt{91}$ и $\sqrt{7}$ под одним знаком корня.

$\frac{\sqrt{\frac{91}{7}}}{2}$

Этап 8.3.13

Сократим общий множитель $91$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.1

Вынесем множитель $7$ из $91$ .

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 13}{7}}}{2}$

Этап 8.3.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.13.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 13}{7 (1)}}}{2}$

Этап 8.3.13.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{\frac{7 \cdot 13}{7 \cdot 1}}}{2}$

Этап 8.3.13.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{\frac{13}{1}}}{2}$

Этап 8.3.13.2.4

Разделим $13$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{91}}}{3}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{91}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2} \cdot 1}{\sqrt{91} \cdot 3}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим ${\sqrt{7}}^{2}$ на $1$ .

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{\sqrt{91} \cdot 3}$

Этап 9.3.3.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{91}$ .

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.4

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7^{1}}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7}{3 \sqrt{91}}$

Этап 9.3.5

Умножим $\frac{7}{3 \sqrt{91}}$ на $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\frac{7}{3 \sqrt{91}} \cdot \frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$

Этап 9.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $\frac{7}{3 \sqrt{91}}$ на $\frac{\sqrt{91}}{\sqrt{91}}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \sqrt{91} \sqrt{91}}$

Этап 9.3.6.2

Перенесем $\sqrt{91}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 (\sqrt{91} \sqrt{91})}$

Этап 9.3.6.3

Возведем $\sqrt{91}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 ({\sqrt{91}}^{1} \sqrt{91})}$

Этап 9.3.6.4

Возведем $\sqrt{91}$ в степень $1$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 ({\sqrt{91}}^{1} {\sqrt{91}}^{1})}$

Этап 9.3.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 {\sqrt{91}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 {\sqrt{91}}^{2}}$

Этап 9.3.6.7

Перепишем ${\sqrt{91}}^{2}$ в виде $91$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{91}$ в виде $91^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 {(91^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91^{1}}$

Этап 9.3.6.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{7 \sqrt{91}}{3 \cdot 91}$

Этап 9.3.7

Сократим общий множитель $7$ и $91$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.1

Вынесем множитель $7$ из $7 \sqrt{91}$ .

$\frac{7 (\sqrt{91})}{3 \cdot 91}$

Этап 9.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.2.1

Вынесем множитель $7$ из $3 \cdot 91$ .

$\frac{7 (\sqrt{91})}{7 (3 \cdot 13)}$

Этап 9.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \sqrt{91}}{7 (3 \cdot 13)}$

Этап 9.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{91}}{3 \cdot 13}$

Этап 9.3.8

Умножим $3$ на $13$ .

$\frac{\sqrt{91}}{39}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$

Этап 11.2

Упростим $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) + 1$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Этап 11.2.1.4

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} + 1$

Этап 11.2.1.4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} + 1$

Этап 11.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + 1$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 11.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 + 2}{2}$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 3$ и $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$

Этап 12.2

Упростим $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) + 1$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Этап 12.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 + 1$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) + 1$

Этап 12.2.1.4.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} + 1$

Этап 12.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + 1$

Этап 12.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 12.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 + 2}{2}$

Этап 12.2.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(1, 1)$

Вершины: $(1 + \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1), (1 - \frac{2 \sqrt{7}}{3}, 1)$

Фокусы: $(1 + \frac{\sqrt{91}}{3}, 1), (1 - \frac{\sqrt{91}}{3}, 1)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{91}}{39}$

Асимптоты: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{1}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 15