Тригонометрия Примеры

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Этап 1

Найдем область определения $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Умножим $0$ на $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем таким образом, чтобы $81 \sqrt{x - 1}$ оказалось в левой части неравенства.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Этап 1.2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Этап 1.2.4

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Применим правило умножения к $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Возведем $81$ в степень $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Упростим.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.6

Умножим $6561$ на $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Этап 1.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Добавим $6561$ к обеим частям неравенства.

$6561 x < 6561$

Этап 1.2.5.2

Разделим каждый член $6561 x < 6561$ на $6561$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Разделим каждый член $6561 x < 6561$ на $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $6561$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Этап 1.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Разделим $6561$ на $6561$ .

$x < 1$

Этап 1.2.6

Найдем область определения $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 1 \geq 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 1$

Этап 1.2.6.3

Зададим знаменатель в $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 1.2.6.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.2.6.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(1, \infty)$

Этап 1.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 1$

Этап 1.3

$x - 1 \geq 0$

Этап 1.4

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 1$

Этап 1.5

Зададим знаменатель в $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 1.6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 1.7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 1}$

Интервальное представление:

$(1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 1}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $1$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

Этап 2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$f (1) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . В данном случае получится точка $(2, 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Этап 4.1.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Этап 4.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $81$ на $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

Этап 4.1.2.3

Логарифм $\frac{81}{1}$ по основанию $3$ равен $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Запишем как уравнение.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Этап 4.1.2.3.2

Перепишем $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Этап 4.1.2.3.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{x} = 3^{4}$

Этап 4.1.2.3.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 4$

Этап 4.1.2.3.5

Переменная $x$ равна $4$ .

$f (2) = 4$

Этап 4.1.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $3$ в $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . В данном случае получится точка $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Этап 4.2.2.3

Окончательный ответ: $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Этап 5