Тригонометрия Примеры

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Этап 1.2.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Этап 1.2.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Этап 1.2.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Этап 1.2.1.2.3

Перепишем многочлен.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 1.2.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ на $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим ${(x + 6)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 1.2.4

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = - 6$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 6$

Этап 2

Найдем точку в $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $24$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $120$ из $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Этап 2.2.2.2

Добавим $- 70$ и $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

Этап 2.2.3

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$f (- 5) = 1$

Этап 2.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 2.3

Преобразуем $1$ в десятичное представление.

$y = 1$

Этап 3

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Этап 3.2.1.3

Умножим $24$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Этап 3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $96$ из $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 64$ и $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

Этап 3.2.3

Логарифм $8$ по основанию $2$ равен $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Запишем как уравнение.

$\log_{2} (8) = x$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\log_{2} (8) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Этап 3.2.3.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{3}$

Этап 3.2.3.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 3$

Этап 3.2.3.5

Переменная $x$ равна $3$ .

$f (- 4) = 3$

Этап 3.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 3.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Этап 4

Найдем точку в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Этап 4.2.1.3

Умножим $24$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $48$ из $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 40$ и $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

Этап 4.2.3

Логарифм $32$ по основанию $2$ равен $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Запишем как уравнение.

$\log_{2} (32) = x$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $\log_{2} (32) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Этап 4.2.3.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{5}$

Этап 4.2.3.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 5$

Этап 4.2.3.5

Переменная $x$ равна $5$ .

$f (- 2) = 5$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 4.3

Преобразуем $5$ в десятичное представление.

$y = 5$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = - 6$ и точек $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Вертикальная асимптота: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Этап 6