Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x - \frac{x}{π})$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1 - \frac{1}{π}$

$c = 0$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Этап 3

Найдем период $\frac{\cos (x - \frac{x}{π})}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $1 - \frac{1}{π}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 - \frac{1}{π} |}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$1 - \frac{1}{π}$ приблизительно равно $0.68169011$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{1 - \frac{1}{π}}$

Этап 3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 π}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

Этап 3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π}{\frac{π - 1}{π}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{π}{π - 1}$

Этап 3.5

Умножим $2 π \frac{π}{π - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $\frac{π}{π - 1}$ и $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{π - 1} π$

Этап 3.5.2

Объединим $\frac{π \cdot 2}{π - 1}$ и $π$ .

$\frac{π \cdot 2 π}{π - 1}$

Этап 3.5.3

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π)}{π - 1}$

Этап 3.5.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π^{1})}{π - 1}$

Этап 3.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 π^{1 + 1}}{π - 1}$

Этап 3.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{1 - \frac{1}{π}}$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

Этап 4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{π - 1}{π}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{π}{π - 1})$

Этап 4.5

Умножим $0$ на $\frac{π}{π - 1}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Период: $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\cos ((0) - \frac{0}{π})}{2}$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Разделим $0$ на $π$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 - 0)}{2}$

Этап 6.1.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 + 0)}{2}$

Этап 6.1.2.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

Этап 6.1.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

Этап 6.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Объединим.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $π^{2}$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $π$ из $π^{2} \cdot 1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 (π - 1) π$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Найдем значение $\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

Этап 6.2.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{π^{2}}{π - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π^{2}}{π - 1}$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π^{2}$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - \frac{π}{π - 1})}{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2} - π}{π - 1})}{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

Этап 6.3.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Этап 6.3.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = - \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.4.2.1.1.2

Объединим.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

Этап 6.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель $π^{2}$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π^{2} \cdot 1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

Этап 6.4.2.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 (π - 1) π$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Этап 6.4.2.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Этап 6.4.2.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

Этап 6.4.2.1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})}{2}$

Этап 6.4.2.1.2

Найдем значение $\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

Этап 6.4.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

Этап 6.4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{2 π^{2}}{π - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{2 π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{2 π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{2 π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π^{2}$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Этап 6.5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - \frac{2 π}{π - 1})}{2}$

Этап 6.5.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})}{2}$

Этап 6.5.2.1.3

Найдем значение $\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{1}{2}$

Этап 6.5.2.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{π^{2}}{π - 1} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{2 π^{2}}{π - 1} & \frac{1}{2} \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $\frac{1}{2}$

Период: $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Этап 8