Тригонометрия Примеры

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{5}} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$x^{2} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{5}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{1 - \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{1 - \frac{5^{1}}{5^{2}}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{1 - \frac{5}{5^{2}}}$

Этап 5.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{5}{25}}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\sqrt{1 - \frac{5 (1)}{25}}$

Этап 5.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{1 - \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{1 - \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5}}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}$

Этап 5.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 - 1}{5}}$

Этап 5.3.5.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$\sqrt{\frac{4}{5}}$

Этап 5.3.6

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.8

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.3.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 5.3.9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 5.3.9.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 5.3.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.3.9.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 5.3.9.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + 1, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(1, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (1), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 1, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{2 \sqrt{5}}{5}), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}}{1}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Разделим $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Этап 8.3.1.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.2

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{1 - \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{1 - \frac{5^{1}}{5^{2}}}$

Этап 8.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{1 - \frac{5}{5^{2}}}$

Этап 8.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{5}{25}}$

Этап 8.3.4

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\sqrt{1 - \frac{5 (1)}{25}}$

Этап 8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\sqrt{1 - \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Этап 8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{1 - \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Этап 8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{1 - \frac{1}{5}}$

Этап 8.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}}$

Этап 8.3.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 - 1}{5}}$

Этап 8.3.5.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$\sqrt{\frac{4}{5}}$

Этап 8.3.6

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.7.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.8

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 8.3.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 8.3.9.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 8.3.9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 8.3.9.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 8.3.9.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 10