Тригонометрия Примеры

$| \ln (1 - x) |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | \ln (1 - x) |$ лежит в точке $(0, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\ln (1 - x)$ равным $0$ . В данном случае $\ln (1 - x) = 0$ .

$\ln (1 - x) = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\ln (1 - x) = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (1 - x)} = e^{0}$

Этап 1.2.2

Перепишем $\ln (1 - x) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 1 - x$

Этап 1.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $1 - x = e^{0}$ .

$1 - x = e^{0}$

Этап 1.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 - x = 1$

Этап 1.2.3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = 1 - 1$

Этап 1.2.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- x = 0$

Этап 1.2.3.4

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.3.4.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 1.2.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$y = | \ln (1 - (0)) |$

Этап 1.4

Упростим $| \ln (1 - (0)) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $0$ из $1$ .

$y = | \ln (1) |$

Этап 1.4.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y = | 0 |$

Этап 1.4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 2

Найдем область определения $y = | \ln (1 - x) |$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим аргумент в $\ln (1 - x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - x > 0$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x > - 1$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- x > - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- x > - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x < 1$

Этап 2.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 1)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 1}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 1)$

Обозначение построения множества:

${x | x < 1}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | \ln (1 - x) |$ . В данном случае получится точка $(- 2, \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | \ln (1 - (- 2)) |$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | \ln (1 + 2) |$

Этап 3.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 2) = | \ln (3) |$

Этап 3.1.2.3

$\ln (3)$ приблизительно равно $1.09861228$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (- 2) = \ln (3)$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $\ln (3)$ .

$y = \ln (3)$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | \ln (1 - x) |$ . В данном случае получится точка $(- 1, \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | \ln (1 - (- 1)) |$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | \ln (1 + 1) |$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 1) = | \ln (2) |$

Этап 3.2.2.3

$\ln (2)$ приблизительно равно $0.69314718$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (- 1) = \ln (2)$

Этап 3.2.2.4

Окончательный ответ: $\ln (2)$ .

$y = \ln (2)$

Этап 3.3

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(0, 0), (- 2, 1.1), (- 1, 0.69)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.1 \\ - 1 & 0.69 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 4