Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (θ)}{1 + \sin (θ)} + \tan (θ)$

Этап 1

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (θ)}{1 + \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\cos (θ)}{1 + \sin (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 + \sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \sin (θ)) \cos (θ)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{\cos (θ)}{1 + \sin (θ)}$ на $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 + \sin (θ)) \cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ на $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{(1 + \sin (θ)) \cos (θ)} + \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \sin (θ)) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))} + \frac{\sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.1.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (1 + \sin (θ))}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.3

Умножим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.4

Умножим $\sin (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.4.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (θ) + \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.5

Перепишем $\cos^{2} (θ) + \sin (θ) + \sin^{2} (θ)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Переставляем члены.

$\frac{\sin (θ) + \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.5.2

Переставляем члены.

$\frac{\sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 6.5.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin (θ) + 1}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\sin (θ) + 1$ и $1 + \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (θ)}$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)$