Тригонометрия Примеры

$| \frac{1}{4} x + 1 | - 4$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | \frac{x}{4} + 1 | - 4$ лежит в точке $(- 4, - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\frac{x}{4} + 1$ равным $0$ . В данном случае $\frac{x}{4} + 1 = 0$ .

$\frac{x}{4} + 1 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\frac{x}{4} + 1 = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{4} = - 1$

Этап 1.2.2

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 \cdot - 1$

Этап 1.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{x}{4} = 4 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 4 \cdot - 1$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = - 4$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$y = | \frac{- 4}{4} + 1 | - 4$

Этап 1.4

Упростим $| \frac{- 4}{4} + 1 | - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Разделим $- 4$ на $4$ .

$y = | - 1 + 1 | - 4$

Этап 1.4.1.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y = | 0 | - 4$

Этап 1.4.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0 - 4$

Этап 1.4.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$y = - 4$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(- 4, - 4)$ .

$(- 4, - 4)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $- 6$ в $f (x) = | \frac{x}{4} + 1 | - 4$ . В данном случае получится точка $(- 6, - \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = | \frac{- 6}{4} + 1 | - 4$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f (- 6) = | \frac{2 (- 3)}{4} + 1 | - 4$

Этап 3.1.2.1.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 6) = | \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} + 1 | - 4$

Этап 3.1.2.1.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 6) = | \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2} + 1 | - 4$

Этап 3.1.2.1.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 6) = | \frac{- 3}{2} + 1 | - 4$

Этап 3.1.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 6) = | - \frac{3}{2} + 1 | - 4$

Этап 3.1.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 6) = | - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} | - 4$

Этап 3.1.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 6) = | \frac{- 3 + 2}{2} | - 4$

Этап 3.1.2.1.4

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f (- 6) = | \frac{- 1}{2} | - 4$

Этап 3.1.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 6) = | - \frac{1}{2} | - 4$

Этап 3.1.2.1.6

$- \frac{1}{2}$ приблизительно равно $- 0.5$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{2}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (- 6) = \frac{1}{2} - 4$

Этап 3.1.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 6) = \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- 6) = \frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 6) = \frac{1 - 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- 6) = \frac{1 - 8}{2}$

Этап 3.1.2.5.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$f (- 6) = \frac{- 7}{2}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 6) = - \frac{7}{2}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $- 5$ в $f (x) = | \frac{x}{4} + 1 | - 4$ . В данном случае получится точка $(- 5, - \frac{15}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = | \frac{- 5}{4} + 1 | - 4$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 5) = | - \frac{5}{4} + 1 | - 4$

Этап 3.2.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 5) = | - \frac{5}{4} + \frac{4}{4} | - 4$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = | \frac{- 5 + 4}{4} | - 4$

Этап 3.2.2.1.4

Добавим $- 5$ и $4$ .

$f (- 5) = | \frac{- 1}{4} | - 4$

Этап 3.2.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 5) = | - \frac{1}{4} | - 4$

Этап 3.2.2.1.6

$- \frac{1}{4}$ приблизительно равно $- 0.25$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{1}{4}$ и вычтем абсолютное значение.

$f (- 5) = \frac{1}{4} - 4$

Этап 3.2.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = \frac{1 - 4 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.5.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f (- 5) = \frac{1 - 16}{4}$

Этап 3.2.2.5.2

Вычтем $16$ из $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 15}{4}$

Этап 3.2.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 5) = - \frac{15}{4}$

Этап 3.2.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{15}{4}$ .

$y = - \frac{15}{4}$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | \frac{x}{4} + 1 | - 4$ . В данном случае получится точка $(- 2, - \frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | \frac{- 2}{4} + 1 | - 4$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- 2) = | \frac{2 (- 1)}{4} + 1 | - 4$

Этап 3.3.2.1.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- 2) = | \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 1 | - 4$

Этап 3.3.2.1.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = | \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 1 | - 4$

Этап 3.3.2.1.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = | \frac{- 1}{2} + 1 | - 4$

Этап 3.3.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = | - \frac{1}{2} + 1 | - 4$

Этап 3.3.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- 2) = | - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} | - 4$

Этап 3.3.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = | \frac{- 1 + 2}{2} | - 4$

Этап 3.3.2.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (- 2) = | \frac{1}{2} | - 4$

Этап 3.3.2.1.5

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (- 2) = \frac{1}{2} - 4$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{1 - 4 \cdot 2}{2}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- 2) = \frac{1 - 8}{2}$

Этап 3.3.2.5.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

Этап 3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

Этап 3.3.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Этап 3.4

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 4, - 4), (- 6, - 3.5), (- 5, - 3.75), (- 3, - 3.75), (- 2, - 3.5)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 3.5 \\ - 5 & - 3.75 \\ - 4 & - 4 \\ - 3 & - 3.75 \\ - 2 & - 3.5 \end{array}$

Этап 4