Тригонометрия Примеры

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{6} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{6} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 3 + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{12 + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{12 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{12 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{12 + 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{12 + 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{12 + 6^{1}}$

Этап 5.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{12 + 6}$

Этап 5.3.5

Добавим $12$ и $6$ .

$\sqrt{18}$

Этап 5.3.6

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\sqrt{9 (2)}$

Этап 5.3.6.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Этап 5.3.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 2 \sqrt{3})$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 2 \sqrt{3})$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(0, 2 \sqrt{3}), (0, - 2 \sqrt{3})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 3 \sqrt{2})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 3 \sqrt{2})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(0, 3 \sqrt{2}), (0, - 3 \sqrt{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{12 + {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{12 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{12 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{12 + 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{12 + 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{12 + 6^{1}}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{12 + 6}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.6

Добавим $12$ и $6$ .

$\frac{\sqrt{18}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $18$ в виде $3^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 8.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Умножим $\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 8.3.3.1.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.3.1.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 8.3.3.1.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 8.3.3.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 8.3.3.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 8.3.3.1.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 8.3.3.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 8.3.3.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 8.3.3.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 8.3.3.1.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 8.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2}$

Этап 8.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2}$

Этап 8.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6^{\frac{2}{2}}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6^{1}}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (\sqrt{2})}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \sqrt{2}}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 9.3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 9.3.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 9.3.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 9.3.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 9.3.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 9.3.5.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \sqrt{2} \cdot x + 0$

Этап 11

Добавим $\sqrt{2} \cdot x$ и $0$ .

$y = \sqrt{2} x$

Этап 12

Добавим $- \sqrt{2} \cdot x$ и $0$ .

$y = - \sqrt{2} x$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \sqrt{2} x, y = - \sqrt{2} x$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(0, 2 \sqrt{3}), (0, - 2 \sqrt{3})$

Фокусы: $(0, 3 \sqrt{2}), (0, - 3 \sqrt{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Фокальный параметр: $\sqrt{2}$

Асимптоты: $y = \sqrt{2} x$ , $y = - \sqrt{2} x$

Этап 15