Тригонометрия Примеры

${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$

Этап 1

Упростим ${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = {\sqrt{x}}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{x}}^{4}$ в виде $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$y = x^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = x^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y = x^{2} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{3}$ в виде $\sqrt{x^{3}}$ .

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{3}} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.3

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{2} x} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = x^{2} + 4 (x \sqrt{x}) \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.5

Умножим $- 9$ на $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{1} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.6.5

Упростим.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.7

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x \cdot 81 + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.8

Умножим $81$ на $6$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.9

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} \cdot - 729 + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.10

Умножим $- 729$ на $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + {(- 9)}^{4} + 1$

Этап 1.1.2.11

Возведем $- 9$ в степень $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6561 + 1$

Этап 1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $6561$ и $1$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Этап 1.2.2

Перенесем $- 36 x \sqrt{x}$ .

$y = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Этап 2

Найдем область определения $y = {(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 3

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} + 486 (0) - 36 \cdot 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 486 (0) - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2.1.2

Умножим $486$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2.1.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0^{2}} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0 + 0 + 0 \cdot 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2.1.6

Умножим $0$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Этап 3.2.1.7

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0^{2}} + 6562$

Этап 3.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \cdot 0 + 6562$

Этап 3.2.1.9

Умножим $- 2916$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 6562$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 6562$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6562$

Этап 3.2.2.3

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 6562$

Этап 3.2.2.4

Добавим $0$ и $6562$ .

$f (0) = 6562$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $6562$ .

$6562$

Этап 4

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, 6562)$ .

$(0, 6562)$

Этап 5

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ . В данном случае получится точка $(1, 4097)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + 486 (1) - 36 \cdot 1 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Этап 5.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + 486 (1) - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Этап 5.1.2.1.2

Умножим $486$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Этап 5.1.2.1.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Этап 5.1.2.1.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot 1 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Этап 5.1.2.1.5

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Этап 5.1.2.1.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \cdot 1 + 6562$

Этап 5.1.2.1.7

Умножим $- 2916$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 + 6562$

Этап 5.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Добавим $1$ и $486$ .

$f (1) = 487 - 36 - 2916 + 6562$

Этап 5.1.2.2.2

Вычтем $36$ из $487$ .

$f (1) = 451 - 2916 + 6562$

Этап 5.1.2.2.3

Вычтем $2916$ из $451$ .

$f (1) = - 2465 + 6562$

Этап 5.1.2.2.4

Добавим $- 2465$ и $6562$ .

$f (1) = 4097$

Этап 5.1.2.3

Окончательный ответ: $4097$ .

$y = 4097$

Этап 5.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ . В данном случае получится точка $(2, 7538 - 2988 \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} + 486 (2) - 36 \cdot 2 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Этап 5.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 + 486 (2) - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $486$ на $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 36$ на $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Этап 5.2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Добавим $4$ и $972$ .

$f (2) = 976 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Этап 5.2.2.2.2

Добавим $976$ и $6562$ .

$f (2) = 7538 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2}$

Этап 5.2.2.2.3

Вычтем $2916 \sqrt{2}$ из $- 72 \sqrt{2}$ .

$f (2) = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Этап 5.2.2.3

Окончательный ответ: $7538 - 2988 \sqrt{2}$ .

$y = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Этап 5.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, 6562), (1, 4097), (2, 3312.33)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6562 \\ 1 & 4097 \\ 2 & 3312.33 \end{array}$

Этап 6