Тригонометрия Примеры

${(x + 1)}^{2} + {(v - 4)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем ${(v - 4)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2} - {(v - 4)}^{2}$

Этап 1.2

Вычтем ${(x + 3)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - {(v - 4)}^{2}$

Этап 1.3

Упростим $- {(v - 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем ${(v - 4)}^{2}$ в виде $(v - 4) (v - 4)$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - ((v - 4) (v - 4))$

Этап 1.3.2

Развернем $(v - 4) (v - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v (v - 4) - 4 (v - 4))$

Этап 1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 (v - 4))$

Этап 1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Этап 1.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $v$ на $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Этап 1.3.3.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 \cdot v - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Этап 1.3.3.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 v - 4 v + 16)$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $4 v$ из $- 4 v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 8 v + 16)$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} - (- 8 v) - 1 \cdot 16$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 1 \cdot 16$

Этап 1.3.5.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 16$

Этап 1.4

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $v^{2}$ к обеим частям уравнения.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} = 8 v - 16$

Этап 1.4.1.2

Вычтем $8 v$ из обеих частей уравнения.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v = - 16$

Этап 1.4.1.3

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2

Упростим ${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 1) + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.4

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - ((x + 3) (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.5

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.6.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.6.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.6.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.8.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$2 x + 1 + 0 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.2.2

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$2 x + 1 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.3

Вычтем $6 x$ из $2 x$ .

$- 4 x + 1 - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.4

Вычтем $9$ из $1$ .

$- 4 x - 8 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Этап 1.4.2.5

Добавим $- 8$ и $16$ .

$- 4 x + v^{2} - 8 v + 8 = 0$

Этап 1.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $v^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x - 8 v + 8 = - v^{2}$

Этап 1.5.2

Добавим $8 v$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x + 8 = - v^{2} + 8 v$

Этап 1.5.3

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$

Этап 1.6

Разделим каждый член $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Разделим каждый член $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.3.1.2

Сократим общий множитель $8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 v$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{4 (2 v)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.3.1.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 v}{- 1}$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot (2 v)$ в виде $- (2 v)$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + \frac{- 8}{- 4}$

Этап 1.6.3.1.5

Разделим $- 8$ на $- 4$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + 2$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $- v^{2} + 8 v - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 16$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 16 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = - 16 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = - 16 - \frac{64}{- 4}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 4$ .

$e = - 16 - - 16$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e = - 16 + 16$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим $- 16$ и $16$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(v - 4)}^{2} + 0$ .

$- {(v - 4)}^{2} + 0$

Этап 2.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(v - 4)}^{2} + 0$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(v - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, - \frac{1}{4})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$v = 4$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{1}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(4, 0)$

Фокус: $(4, - \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $v = 4$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(4, 0)$

Фокус: $(4, - \frac{1}{4})$

Ось симметрии: $v = 4$

Директриса: $y = \frac{1}{4}$

Этап 3