Тригонометрия Примеры

$y^{2} - 4 x^{2} - 2 y - 32 x - 64 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 4 x^{2} - 2 y - 32 x = 64$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $y^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Этап 1.2.4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e = 0 - 1$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e = - 1$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Этап 1.3

Подставим ${(y - 1)}^{2} - 1$ вместо $y^{2} - 2 y$ в уравнение $y^{2} - 4 x^{2} - 2 y - 32 x = 64$ .

${(y - 1)}^{2} - 1 - 4 x^{2} - 32 x = 64$

Этап 1.4

Перенесем $- 1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

${(y - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 32 x = 64 + 1$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- 4 x^{2} - 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = - 32$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (- 4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16$ .

$d = \frac{- 4 (4)}{- 4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{- 4 \cdot 4}{- 4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{- 16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 64$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$e = 0 + 64$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $64$ .

$e = 64$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(x + 4)}^{2} + 64$ .

$- 4 {(x + 4)}^{2} + 64$

Этап 1.6

Подставим $- 4 {(x + 4)}^{2} + 64$ вместо $- 4 x^{2} - 32 x$ в уравнение $y^{2} - 4 x^{2} - 2 y - 32 x = 64$ .

${(y - 1)}^{2} - 4 {(x + 4)}^{2} + 64 = 64 + 1$

Этап 1.7

Перенесем $64$ в правую часть уравнения, прибавив $64$ к обеим частям.

${(y - 1)}^{2} - 4 {(x + 4)}^{2} = 64 + 1 - 64$

Этап 1.8

Упростим $64 + 1 - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $64$ и $1$ .

${(y - 1)}^{2} - 4 {(x + 4)}^{2} = 65 - 64$

Этап 1.8.2

Вычтем $64$ из $65$ .

${(y - 1)}^{2} - 4 {(x + 4)}^{2} = 1$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

${(y - 1)}^{2} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 1$

$h = - 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 4, 1)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 5.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{4}}$

Этап 5.3.7

Добавим $4$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{4}}$

Этап 5.3.8

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 2)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 4, 2), (- 4, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 1 + \frac{\sqrt{5}}{2})$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, 1 - \frac{\sqrt{5}}{2})$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 4, 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}), (- 4, 1 - \frac{\sqrt{5}}{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 8.3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 8.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 8.3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{1}{4}}$

Этап 8.3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Этап 8.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{4}}$

Этап 8.3.8

Добавим $4$ и $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{4}}$

Этап 8.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Этап 8.3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 8.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{5}}}{2}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 9.3.2

Объединим.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{5} \cdot 2}$

Этап 9.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{5} \cdot 2}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{5} \cdot 2}$

Этап 9.3.3.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{5}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{5}}$

Этап 9.3.5

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 9.3.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 9.3.6.2

Перенесем $\sqrt{5}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Этап 9.3.6.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Этап 9.3.6.4

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Этап 9.3.6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.6.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 9.3.6.7

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.6.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.6.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.6.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Этап 9.3.6.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 9.3.7

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{10}$

Этап 9.3.8

Умножим $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{\sqrt{5}}{10}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{4 \cdot 10}$

Этап 9.3.8.2

Умножим $4$ на $10$ .

$\frac{\sqrt{5}}{40}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm 2 \cdot (x - (- 4)) + 1$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cdot (x - (- 4)) + 1$

Этап 11.2

Упростим $2 \cdot (x - (- 4)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = 2 \cdot (x + 4) + 1$

Этап 11.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 x + 2 \cdot 4 + 1$

Этап 11.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$y = 2 x + 8 + 1$

Этап 11.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$y = 2 x + 9$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - 2 \cdot (x - (- 4)) + 1$

Этап 12.2

Упростим $- 2 \cdot (x - (- 4)) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = - 2 \cdot (x + 4) + 1$

Этап 12.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 x - 2 \cdot 4 + 1$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 2$ на $4$ .

$y = - 2 x - 8 + 1$

Этап 12.2.2

Добавим $- 8$ и $1$ .

$y = - 2 x - 7$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = 2 x + 9, y = - 2 x - 7$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 4, 1)$

Вершины: $(- 4, 2), (- 4, 0)$

Фокусы: $(- 4, 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}), (- 4, 1 - \frac{\sqrt{5}}{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{5}}{40}$

Асимптоты: $y = 2 x + 9$ , $y = - 2 x - 7$

Этап 15