Тригонометрия Примеры

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ не определено.

$y = - 2, y = 6$

Этап 2

Поскольку $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ как $y$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ как $y$ $\to$ $- 2$ справа, то $y = - 2$ — вертикальная асимптота.

$y = - 2$

Этап 3

Поскольку $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ как $y$ $\to$ $6$ слева, а $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ как $y$ $\to$ $6$ справа, то $y = 6$ — вертикальная асимптота.

$y = 6$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$y = - 2, 6$

Этап 5

$x = \frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ — уравнение прямой, поэтому горизонтальных асимптот не существует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $y^{2} - 4 y - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 6.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$

Этап 6.2

Развернем $(y - 6) (y + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1}{y (y + 2) - 6 (y + 2)}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 (y + 2)}$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок $y$ и $2$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Этап 6.2.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Этап 6.2.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Этап 6.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y + 1}{y^{1 + 1} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Этап 6.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Этап 6.2.9

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 12}$

Этап 6.2.10

Вычтем $6 y$ из $2 y$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y^{2}$

$4 y$

$12$

$y$

$1$

Этап 6.4

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$0 + \frac{y^{2} - 3 y - 11}{y^{2} - 4 y - 12}$

Этап 6.5

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 0$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $y = - 2, 6$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 0$

Этап 8