Тригонометрия Примеры

$18 \cos (π x + \frac{1}{2})$

Этап 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 18$

$b = π$

$c = - \frac{1}{2}$

$d = 0$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $18$

Этап 3

Найдем период $18 \cos (π x + \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2

Заменим $b$ на $π$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| π |}$

Этап 3.3

$π$ приблизительно равно $3.14159265$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{π}$

Этап 3.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{- \frac{1}{2}}{π}$

Этап 4.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{1}{π}$ на $\frac{1}{2}$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{1}{π \cdot 2}$

Этап 4.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

Сдвиг фазы: $- \frac{1}{2 π}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $18$

Период: $2$

Сдвиг фазы: $- \frac{1}{2 π}$ ( $\frac{1}{2 π}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = - \frac{1}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2 π}$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 π}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.1.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{- 1 + 1}{2})$

Этап 6.1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{0}{2})$

Этап 6.1.2.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (0)$

Этап 6.1.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 1$

Этап 6.1.2.4

Умножим $18$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{2 π}) = 18$

Этап 6.1.2.5

Окончательный ответ: $18$ .

$18$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{1}{2}) + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 π}$ в числитель.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.1.3.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π - 1 + 1}{2})$

Этап 6.2.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π + 0}{2})$

Этап 6.2.2.2.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 0$

Этап 6.2.2.4

Умножим $18$ на $0$ .

$f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 π}) = 0$

Этап 6.2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = 1 - \frac{1}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1 - \frac{1}{2 π}$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (1 - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π \cdot 1 + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.1.2

Умножим $π$ на $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 π}$ в числитель.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.1.3.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + \frac{- 1 + 1}{2})$

Этап 6.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + \frac{0}{2})$

Этап 6.3.2.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π + 0)$

Этап 6.3.2.2.2.3

Добавим $π$ и $0$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π)$

Этап 6.3.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 (- \cos (0))$

Этап 6.3.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 (- 1 \cdot 1)$

Этап 6.3.2.5

Умножим $18 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot - 1$

Этап 6.3.2.5.2

Умножим $18$ на $- 1$ .

$f (1 - \frac{1}{2 π}) = - 18$

Этап 6.3.2.6

Окончательный ответ: $- 18$ .

$- 18$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (\frac{3}{2}) + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 π}$ в числитель.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.3.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 \cdot π}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π - 1 + 1}{2})$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π + 0}{2})$

Этап 6.4.2.2.2.2

Добавим $3 π$ и $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 6.4.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 6.4.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 0$

Этап 6.4.2.5

Умножим $18$ на $0$ .

$f (\frac{3}{2} - \frac{1}{2 π}) = 0$

Этап 6.4.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = 2 - \frac{1}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2 - \frac{1}{2 π}$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π (2 - \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (π \cdot 2 + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (- \frac{1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.1.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 π}$ в числитель.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (\frac{- 1}{2 π}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.1.3.2

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + π (\frac{- 1}{π \cdot 2}) + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 \cdot π + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π - \frac{1}{2} + \frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π + \frac{- 1 + 1}{2})$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π + \frac{0}{2})$

Этап 6.5.2.2.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π + 0)$

Этап 6.5.2.2.2.3

Добавим $2 π$ и $0$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (2 π)$

Этап 6.5.2.3

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cos (0)$

Этап 6.5.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18 \cdot 1$

Этап 6.5.2.5

Умножим $18$ на $1$ .

$f (2 - \frac{1}{2 π}) = 18$

Этап 6.5.2.6

Окончательный ответ: $18$ .

$18$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{2 π} & 18 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 1 - \frac{1}{2 π} & - 18 \\ \frac{3}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 2 - \frac{1}{2 π} & 18 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $18$

Период: $2$

Сдвиг фазы: $- \frac{1}{2 π}$ ( $\frac{1}{2 π}$ влево)

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{1}{2 π} & 18 \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 1 - \frac{1}{2 π} & - 18 \\ \frac{3}{2} - \frac{1}{2 π} & 0 \\ 2 - \frac{1}{2 π} & 18 \end{array}$

Этап 8