Тригонометрия Примеры

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Этап 1.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 \cos (3 x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 \cos (3 x) - 1$ к $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \cos (3 x) = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 \cos (3 x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 \cos (3 x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (3 x)$ на $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Этап 3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Этап 3.2.5

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Этап 3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.2.5.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Этап 3.2.5.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Этап 3.2.6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 3.2.7.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 3.2.7.1.5

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.7.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Этап 3.2.7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Этап 3.2.7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Этап 3.2.7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.2.7.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Этап 3.2.7.2.3.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Этап 3.2.8

Найдем период $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.8.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 3.2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 3.2.9

Период функции $\cos (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Приравняем $\cos (3 x) + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (3 x) + 3$ к $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (3 x) + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\cos (3 x) = - 3$

Этап 4.2.2

Множество значений косинуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 3$ не попадает в это множество, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 7.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Этап 7.1.3

Левая часть $- 5.98979219$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 7.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Этап 7.2.3

Левая часть $3.64470539$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 7.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Этап 7.3.3

Левая часть $- 5.8953346$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Истина

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Ложь

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Истина

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Истина

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Ложь

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Истина

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ или $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого числа $n$

Этап 9