Тригонометрия Примеры

$2 \tan (x) > \sqrt{2}$

Этап 1

Разделим каждый член $2 \tan (x) > \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $2 \tan (x) > \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x > \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$x > 0.6154797$

Этап 4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.6154797$

Этап 5.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Этап 5.3

Добавим $3.14159265$ и $0.6154797$ .

$x = 3.75707236$

Этап 6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.6154797 + π n, 3.75707236 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $0.6154797 + π n$ и $3.75707236 + π n$ в $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Найдем область определения $2 \tan (x) - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$2 \tan (1) > \sqrt{2}$

Этап 11.1.3

Левая часть $3.11481544$ больше правой части $1.41421356$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$2 \tan (3) > \sqrt{2}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 0.28509308$ не больше правой части $1.41421356$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ Ложь

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ Истина

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0.6154797 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13