Тригонометрия Примеры

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ не определено.

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

Этап 2

Поскольку $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ как $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ слева, а $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ как $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ справа, то $y = - \sqrt{7}$ — вертикальная асимптота.

$y = - \sqrt{7}$

Этап 3

Поскольку $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ как $y$ $\to$ $- 2$ слева, а $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ как $y$ $\to$ $- 2$ справа, то $y = - 2$ — вертикальная асимптота.

$y = - 2$

Этап 4

Поскольку $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ как $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ слева, а $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ как $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ справа, то $y = \sqrt{7}$ — вертикальная асимптота.

$y = \sqrt{7}$

Этап 5

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Этап 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ — уравнение прямой, поэтому горизонтальных асимптот не существует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 7

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Этап 7.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

Этап 7.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

Этап 7.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $y + 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

Этап 7.2

Развернем $(y + 2) (y^{2} - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

Этап 7.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

Этап 7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Этап 7.2.4

Изменим порядок $y$ и $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Этап 7.2.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Этап 7.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Этап 7.2.7

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Этап 7.2.8

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

Этап 7.2.9

Перенесем $- 7 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Этап 7.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

Этап 7.4

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Этап 7.5

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 0$

Этап 8

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 0$

Этап 9