Тригонометрия Примеры

$\log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$

Этап 1

Найдем область определения $y = \log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$3 | x | \sqrt{x} > 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$| x | = 0$

$\sqrt{x} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем $| x |$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Приравняем $| x |$ к $0$ .

$| x | = 0$

Этап 1.2.2.2

Решим $| x | = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 1.2.2.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.3

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 | x | \sqrt{x} > 0$ верно.

$x = 0$

Этап 1.2.4

Найдем область определения $3 | x | \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.2.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 1.2.5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 0$

Этап 1.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Этап 2.2

Избавимся от скобок.

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Этап 2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$f (0) = \log_{3} (3 \cdot (0 \sqrt{0}))$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0})$

Этап 2.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0^{2}})$

Этап 2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = \log_{3} (0 \cdot 0)$

Этап 2.7

Умножим $0$ на $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0)$

Этап 2.8

Логарифм нуля не определен.

$f (0) = Undefined$

Неопределенные

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ . В данном случае получится точка $(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Этап 4.1.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot (1 \sqrt{1}))$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \sqrt{1})$

Этап 4.1.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Этап 4.1.2.6

Логарифм $3$ по основанию $3$ равен $1$ .

$f (1) = 1$

Этап 4.1.2.7

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ . В данном случае получится точка $(2, \log_{3} (6 \sqrt{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Этап 4.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f (2) = \log_{3} (3 \cdot (2 \sqrt{2}))$

Этап 4.2.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$f (2) = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Этап 4.2.2.4

Окончательный ответ: $\log_{3} (6 \sqrt{2})$ .

$y = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, Undefined), (1, 1), (2, 1.95)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.95 \end{array}$

Этап 5