Тригонометрия Примеры

$2 \arctan (\frac{2 (\sqrt{b})}{b + 1})$

Этап 1

Найдем область определения $y = 2 \arctan (\frac{2 (\sqrt{b})}{b + 1})$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ , то есть список точек, которые помогут составить график корня.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 1.2

Зададим знаменатель в $\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x + 1 = 0$

Этап 1.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \geq 0}$

Этап 2

Чтобы найти конечную точку графика выражения с радикалом, подставим $x$ значение $0$ , которое является наименьшим значением в области определения, в уравнение $f (x) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{0}}{(0) + 1})$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{0^{2}}}{0 + 1})$

Этап 2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{0 + 1})$

Этап 2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 2 \arctan (\frac{0}{1})$

Этап 2.2.2.3

Разделим $0$ на $1$ .

$f (0) = 2 \arctan (0)$

Этап 2.2.3

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3

Конечная точка подкоренного выражения: $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 4

Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения $x$ , идущие сразу после начала области определения выражения с корнем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1})$ . В данном случае получится точка $(1, \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{1}}{(1) + 1})$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 1}{1 + 1})$

Этап 4.1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2 \cdot 1}{2})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 2 \arctan (\frac{2}{2})$

Этап 4.1.2.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f (1) = 2 \arctan (1)$

Этап 4.1.2.5

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$f (1) = 2 (\frac{π}{4})$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (1) = 2 (\frac{π}{2 (2)})$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общий множитель.

$f (1) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 4.1.2.6.3

Перепишем это выражение.

$f (1) = \frac{π}{2}$

Этап 4.1.2.7

Окончательный ответ: $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Этап 4.2

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1})$ . В данном случае получится точка $(2, 1.51193882)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{(2) + 1})$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $2$ и $1$ .

$f (2) = 2 \arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{3})$

Этап 4.2.2.2

Найдем значение $\arctan (\frac{2 \sqrt{2}}{3})$ .

$f (2) = 2 \cdot 0.75596941$

Этап 4.2.2.3

Умножим $2$ на $0.75596941$ .

$f (2) = 1.51193882$

Этап 4.2.2.4

Окончательный ответ: $1.51193882$ .

$y = 1.51193882$

Этап 4.3

График квадратного корня можно построить с помощью точек вокруг вершины $(0, 0), (1, 1.57), (2, 1.51)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.57 \\ 2 & 1.51 \end{array}$

Этап 5