Тригонометрия Примеры

$f (x) = - 2 {(x - 4)}^{2 (x^{2 - 25})}$

Этап 1

Найдем, где выражение $- 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} - 2 {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} {(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$

Этап 2.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}}$ в виде $e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$ .

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})}$

Этап 2.2.2

Развернем $\ln ({(x - 4)}^{\frac{2}{x^{23}}})$ , вынося $\frac{2}{x^{23}}$ из логарифма.

$- 2 lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Этап 2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{23}} \ln (x - 4)}$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{2}{x^{23}}$ и $\ln (x - 4)$ .

$- 2 e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Этап 2.3.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}}}$

Этап 2.4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- 2 e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 4)}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Этап 2.4.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{23}}}$

Этап 2.4.1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 2.4.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$- 2 e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 2.4.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 4)}{x^{23}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}$

Этап 2.4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.3

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.7

Умножим $\frac{1}{x - 4}$ на $1$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{\frac{d}{d x} [x^{23}]}}$

Этап 2.4.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 23$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 4}}{23 x^{22}}}$

Этап 2.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{1}{23 x^{22}}}$

Этап 2.4.5

Умножим $\frac{1}{x - 4}$ на $\frac{1}{23 x^{22}}$ .

$- 2 e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) \cdot 23 x^{22}}}$

Этап 2.5

Вынесем член $\frac{1}{23}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 4) x^{22}}}$

Этап 2.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{(x - 4) x^{22}}$ стремится к $0$ .

$- 2 e^{2 (\frac{1}{23}) \cdot 0}$

Этап 2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{23}$ .

$- 2 e^{\frac{2}{23} \cdot 0}$

Этап 2.7.2

Умножим $\frac{2}{23}$ на $0$ .

$- 2 e^{0}$

Этап 2.7.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 2.7.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 3

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = - 2$

Этап 4

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 5

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = - 2$

Нет наклонных асимптот

Этап 6