Тригонометрия Примеры

$f (x) = 1 - | \cos (2 x) |$

Этап 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = 1 - | \cos (2 x) |$ лежит в точке $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\cos (2 x)$ равным $0$ . В данном случае $\cos (2 x) = 0$ .

$\cos (2 x) = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение $\cos (2 x) = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (0)$

Этап 1.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 1.2.5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 1.2.5.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 1.2.5.1.5

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.5.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.6

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.6.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 1.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 1.2.6.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 1.2.7

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2})) |$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2})) |$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |$

Этап 1.5

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ .

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |),$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} & 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \end{array}$

Этап 4