Тригонометрия Примеры

$y = 8 \sin (70 (x - 17.5)) + 7$

Этап 1

Применим форму $a \sin (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 8$

$b = 70$

$c = 1225$

$d = 7$

Этап 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $8$

Этап 3

Найдем период, используя формулу $\frac{2 π}{| b |}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем период $8 \sin (70 x - 1225)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.1.2

Заменим $b$ на $70$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 70 |}$

Этап 3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $70$ равно $70$ .

$\frac{2 π}{70}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{70}$

Этап 3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 35}$

Этап 3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 35}$

Этап 3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{35}$

Этап 3.2

Найдем период $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.2

Заменим $b$ на $70$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 70 |}$

Этап 3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $70$ равно $70$ .

$\frac{2 π}{70}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{70}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 35}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 35}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{35}$

Этап 3.3

Период суммы/разности тригонометрических функций равен наибольшему из отдельных периодов.

$\frac{π}{35}$

Этап 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 4.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{1225}{70}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $1225$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $35$ из $1225$ .

Сдвиг фазы: $\frac{35 (35)}{70}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $35$ из $70$ .

Сдвиг фазы: $\frac{35 \cdot 35}{35 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{35 \cdot 35}{35 \cdot 2}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{35}{2}$

Этап 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $8$

Период: $\frac{π}{35}$

Сдвиг фазы: $\frac{35}{2}$ ( $\frac{35}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $7$

Этап 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем точку в $x = \frac{35}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{35}{2}$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (2 (35) (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.1.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (2 \cdot (35 (\frac{35}{2})) - 1225) + 7$

Этап 6.1.2.1.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (35 \cdot 35 - 1225) + 7$

Этап 6.1.2.1.1.2

Умножим $35$ на $35$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (1225 - 1225) + 7$

Этап 6.1.2.1.2

Вычтем $1225$ из $1225$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (0) + 7$

Этап 6.1.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.3.1

Представим $0$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{0}{2}) + 7$

Этап 6.1.2.1.3.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$f (\frac{35}{2}) = 8 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}) + 7$

Этап 6.1.2.1.3.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения в первом квадранте.

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}} + 7$

Этап 6.1.2.1.3.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (0)}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.3.4.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1 - 1 \cdot 1}{2}} + 7$

Этап 6.1.2.1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1 - 1}{2}} + 7$

Этап 6.1.2.1.3.4.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sqrt{\frac{0}{2}} + 7$

Этап 6.1.2.1.3.4.4

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sqrt{0} + 7$

Этап 6.1.2.1.3.4.5

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$f (\frac{35}{2}) = 8 \sqrt{0^{2}} + 7$

Этап 6.1.2.1.3.4.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{35}{2}) = 8 \cdot 0 + 7$

Этап 6.1.2.1.4

Умножим $8$ на $0$ .

$f (\frac{35}{2}) = 0 + 7$

Этап 6.1.2.2

Добавим $0$ и $7$ .

$f (\frac{35}{2}) = 7$

Этап 6.1.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$7$

Этап 6.2

Найдем точку в $x = \frac{π}{140} + \frac{35}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{140} + \frac{35}{2}$ .

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{140}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $70$ из $140$ .

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{70 (2)}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{70 \cdot 2}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{π}{2} + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{π}{2} + 2 (35) (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{π}{2} + 2 \cdot (35 (\frac{35}{2})) - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{π}{2} + 35 \cdot 35 - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.1.4

Умножим $35$ на $35$ .

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{π}{2} + 1225 - 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.2

Вычтем $1225$ из $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (- 1223.42920367 + 1225) + 7$

Этап 6.2.2.1.3

Добавим $- 1223.42920367$ и $1225$ .

$f (\frac{π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (1.57079632) + 7$

Этап 6.2.2.2

Окончательный ответ: $8 \sin (1.57079632) + 7$ .

$8 \sin (1.57079632) + 7$

Этап 6.2.3

Преобразуем $8 \sin (1.57079632) + 7$ в десятичное представление.

$15$

Этап 6.3

Найдем точку в $x = \frac{π}{70} + \frac{35}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{70} + \frac{35}{2}$ .

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{70}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{70}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (π + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (π + 2 (35) (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (π + 2 \cdot (35 (\frac{35}{2})) - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (π + 35 \cdot 35 - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.1.4

Умножим $35$ на $35$ .

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (π + 1225 - 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (3.14159265 - 1225 + 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.3

Вычтем $1225$ из $3.14159265$ .

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (- 1221.85840734 + 1225) + 7$

Этап 6.3.2.1.4

Добавим $- 1221.85840734$ и $1225$ .

$f (\frac{π}{70} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (3.14159265) + 7$

Этап 6.3.2.2

Окончательный ответ: $8 \sin (3.14159265) + 7$ .

$8 \sin (3.14159265) + 7$

Этап 6.3.3

Преобразуем $8 \sin (3.14159265) + 7$ в десятичное представление.

$7$

Этап 6.4

Найдем точку в $x = \frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{3 π}{140}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $70$ из $140$ .

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{3 π}{70 (2)}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{3 π}{70 \cdot 2}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{3 π}{2} + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 (35) (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 \cdot (35 (\frac{35}{2})) - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{3 π}{2} + 35 \cdot 35 - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.1.4

Умножим $35$ на $35$ .

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (\frac{3 π}{2} + 1225 - 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.2

Вычтем $1225$ из $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (- 1220.28761101 + 1225) + 7$

Этап 6.4.2.1.3

Добавим $- 1220.28761101$ и $1225$ .

$f (\frac{3 π}{140} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (4.71238898) + 7$

Этап 6.4.2.2

Окончательный ответ: $8 \sin (4.71238898) + 7$ .

$8 \sin (4.71238898) + 7$

Этап 6.4.3

Преобразуем $8 \sin (4.71238898) + 7$ в десятичное представление.

$- 1$

Этап 6.5

Найдем точку в $x = \frac{π}{35} + \frac{35}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{35} + \frac{35}{2}$ .

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (70 (\frac{π}{35}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $35$ из $70$ .

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (35 (2) (\frac{π}{35}) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (35 \cdot (2 (\frac{π}{35})) + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (2 π + 70 (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (2 π + 2 (35) (\frac{35}{2}) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (2 π + 2 \cdot (35 (\frac{35}{2})) - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (2 π + 35 \cdot 35 - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.1.4

Умножим $35$ на $35$ .

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (2 π + 1225 - 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.2

Вычтем $1225$ из $2 π$ .

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (- 1218.71681469 + 1225) + 7$

Этап 6.5.2.1.3

Добавим $- 1218.71681469$ и $1225$ .

$f (\frac{π}{35} + \frac{35}{2}) = 8 \sin (6.2831853) + 7$

Этап 6.5.2.2

Окончательный ответ: $8 \sin (6.2831853) + 7$ .

$8 \sin (6.2831853) + 7$

Этап 6.5.3

Преобразуем $8 \sin (6.2831853) + 7$ в десятичное представление.

$7$

Этап 6.6

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{35}{2} & 7 \\ \frac{π}{140} + \frac{35}{2} & 15 \\ \frac{π}{70} + \frac{35}{2} & 7 \\ \frac{3 π}{140} + \frac{35}{2} & - 1 \\ \frac{π}{35} + \frac{35}{2} & 7 \end{array}$

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $8$

Период: $\frac{π}{35}$

Сдвиг фазы: $\frac{35}{2}$ ( $\frac{35}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: $7$

Этап 8