Тригонометрия Примеры

$y = \sec (4 x - 2 π)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \sec (4 x - 2 π)$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \sec (4 x - 2 π)$ .

$4 x - 2 π = - \frac{π}{2}$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $2 π$ к обеим частям уравнения.

$4 x = - \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 1.2.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.2.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{- π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x = \frac{- π + 4 π}{2}$

Этап 1.2.1.5.2

Добавим $- π$ и $4 π$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{3 π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.2.2.3.2

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.2.1

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Этап 1.3

Выражение внутри секанса $4 x - 2 π$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$4 x - 2 π = \frac{3 π}{2}$

Этап 1.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Добавим $2 π$ к обеим частям уравнения.

$4 x = \frac{3 π}{2} + 2 π$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.4.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{3 π + 2 π \cdot 2}{2}$

Этап 1.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x = \frac{3 π + 4 π}{2}$

Этап 1.4.1.5.2

Добавим $3 π$ и $4 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{2}$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{7 π}{2}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{7 π}{2}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{2}}{4}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 1.4.2.3.2

Умножим $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.2.3.2.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Этап 1.5

Основной период $y = \sec (4 x - 2 π)$ находится на промежутке $(\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8})$ , где $\frac{3 π}{8}$ и $\frac{7 π}{8}$ являются вертикальными асимптотами.

$(\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8})$

Этап 1.6

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 1.7

Вертикальные асимптоты $y = \sec (4 x - 2 π)$ находятся в $\frac{3 π}{8}$ , $\frac{7 π}{8}$ и в каждой точке $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

Этап 1.8

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Этап 2

Применим форму $a \sec (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 2 π$

$d = 0$

Этап 3

Поскольку график функции $s e c$ не имеет максимального или минимального значения, его амплитуда не может быть определена.

Амплитуда: нет

Этап 4

Найдем период $\sec (4 x - 2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 4.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 5

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Этап 5.2

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{2 π}{4}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 (π)}{4}$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

Сдвиг фазы: $\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

Сдвиг фазы: $\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2}$

Этап 6

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , где $n$ — целое число

Амплитуда: нет

Период: $\frac{π}{2}$

Сдвиг фазы: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ вправо)

Смещение по вертикали: нет

Этап 8